Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Số nguyên tố


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 lovemathforeverlqd

lovemathforeverlqd

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết

Đã gửi 29-06-2016 - 12:05

Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p và a nguyên dương, số $a^{p}-1$ luôn có ít nhất một ước nguyên tố q thỏa mãn:

$$q\equiv 1 modp$$

 



#2 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-07-2016 - 20:19

Ta sẽ quan tâm đến $a \ge 2$:
Gọi $q$ là một ước nguyên tố của $\frac{a^{p} - 1}{a - 1}$. Ta sẽ chứng minh $q = p$ hoặc $q \equiv 1\pmod{p}$

Theo đề bài ta có $a^{p} \equiv 1\pmod{q}$, suy ra $\text{ord}_{q}(a)\mid p$.

i) $\text{ord}_{q}(a) = 1$. Để ý là $q\mid 1 + a + \cdots + a^{p - 1}$, lấy modulo $q$, ta thu được $p\equiv 0\pmod{q}$ hay $p = q$ do $q$ nguyên tố.

ii) $\text{ord}_{q}(a) = p$. Mặt khác, $\text{ord}_{q}(a)\mid q - 1$. Ta có đpcm.

Bây giờ quay lại bài toán, để ý là theo LTE ta có $v_{p}\left(\frac{a^{p} - 1}{a - 1}\right) = v_{p}(a^{p} - 1) - v_{p}(a - 1) = v_{p}(p) = 1$. Tức là nếu $\frac{a^{p} - 1}{a - 1} = p^{k}$ thì $k = 1$, suy ra $a = 1$, vô lý.
Điều này tức là có một ước nguyên tố nào khác thỏa $q \neq p$ và như ii) ta có đpcm.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh