Cho $a,b,c$ là các số thực dương và $m,n$ là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $m\ge n$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^m+b^m+c^n}{a^n+b^n+c^n}\ge (\frac{a+b+c}{3})^{m-n}$.
P/s: Bổ đề nhỏ ứng dụng lớn.
$\frac{a^m+b^m+c^n}{a^n+b^n+c^n}\ge (\frac{a+b+c}{3})^{m-n}$.
Bắt đầu bởi tritanngo99, 29-06-2016 - 14:46
bdt_3
#2
Đã gửi 13-07-2016 - 22:24
Senju Hashirama
-
- Thành viên
-
- 69 Bài viết
Hạ sĩ
Không mất tính tổng quát , giả sử $a\geq b\geq c$
$\Rightarrow a^{n}\geq b^{n}\geq c^{n}$ và $a^{m-n}\geq b^{m-n}\geq c^{m-n}$
Áp dụng BĐT $Chebyshev$ , ta có
$\sum a^{m}\geq \frac{1}{3}\sum a^{n}.\sum a^{m-n}$
Tương tự , ta có :
$\sum a^{m-n}\geq \frac{1}{3}\sum a^{m-n-1}\sum a$
Cứ như vậy ta có ĐPCM
- tritanngo99 yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt_3
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
CMR:$\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^2}{b^2+b+1}\ge 1$Bắt đầu bởi tritanngo99, 25-07-2017  bdt_3
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\sqrt{(a+1)^2+b^2}+2\sqrt{(a-1)^2+b^2}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 27-04-2017 bdt_3
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $(ab-2)^2+1\ge a^3+b^3$Bắt đầu bởi tritanngo99, 06-04-2017 bdt_3
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
CMR: $7(ab+bc+ca)^2\ge 18abc+27(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)$Bắt đầu bởi tritanngo99, 13-01-2017 bdt_3
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\sum_{k=0}^nC_{n}^k(k-nx)^2x^k(1-x)^{n-k}\le \frac{n}{4}$.Bắt đầu bởi tritanngo99, 19-10-2016 bdt_3
|
|
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
