Chủ đề này có 1 trả lời

[chieckhantiennu]

Cho $a,b,c \in [1;3], a^2+b^2+c^2=14$.

Chứng minh: $(1-\dfrac{b}{a})(2+\dfrac{c}{a}) \ge -8$

[vta00]

Nếu $c\leq2$ thì $\frac{c}{a}+2\leq \frac{2}{1}+2=4,\frac{b}{a}-1\leq \frac{3}{1}-1=2\Rightarrow \left ( \frac{b}{a}-1 \right )(\frac{c}{a}+2)\leq 8$.Nếu $c\geq2$ thì  $\left ( \frac{b}{a}-1 \right )(\frac{c}{a}+2)\leq 8\Leftrightarrow \left ( \frac{\sqrt{14-a^2-c^2}}{a}-1 \right )(\frac{c}{a}+2)\leq 8\Leftrightarrow \left ( 2a+c \right )\sqrt{14-a^2-c^2}\leq 10a^2+ca\Leftrightarrow 104a^4+24ac^3+6c^2a^2+4ac^3+c^4-14c^2-56a^2-56ac\geq 0$,ta có $6c^2a^2\geq 6c^2,16a^4\geq16,c^4-8c^2+16\geq0,a(32a^3+24a^2c+4c^3-56c)\geq a\left ( 32-32c+4c^3 \right )=a(c-2)(c^2+2c-4)\geq 0$ cộng các bất đẳng thức lại suy ra đcpcm.