Chủ đề này có 2 trả lời

[HardMath]

Cho các số dương x,y,z,t biết $\frac{x}{1+x} +\frac{y}{1+y} +\frac{z}{1+z} +\frac{t}{1+t}$ $\leq 1$ . CMR $81xyzt\leq 1$

[thinhnarutop]

Ta có: $\frac{1}{1+x}\geq \frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}+\frac{t}{1+t}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{yzt}{(1+y)(1+z)(1+t)}}$

Do đó: $\frac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)(1+t)}\geq 81.\frac{xyzt}{(1+x)(1+y)(1+z)(1+t)}$

$\Leftrightarrow 81xyzt\leq 1$

Dấu = xảy ra <=> x = y = z = t = 1/3

[quangtohe]

Bài này dùng kĩ thuật ghép đối xứng thôi bạn

Áp dụng BĐT AM-GM,ta có:

$\frac{1}{1+x}\geq \frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}+\frac{t}{1+t}\geq \sqrt[3]{\frac{yzt}{(y+1)(z+1)(t+1)}}$

Làm tt rồi nhân các vế lại với nhau, ta đc:

$\frac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)(1+t)}\geq \frac{xyzt}{(1+x)(1+y)(1+z)(1+t)}$

<=> $xyzt\leq \frac{1}{81}$

Dấu "=" xảy ra <=>x=y=z=t=$\frac{1}{3}$