Chủ đề này có 3 trả lời

[Baoriven]

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$.

Tìm GTNN của: $P=\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}$

[tpdtthltvp]

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$.

Tìm GTNN của: $P=\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}$

 

 

Áp dụng BĐT $Schwarz,$ ta có:

$$\sum \frac{a^2}{b+2c}=\sum \frac{a^4}{a^2b+2a^2c}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^2b+2\sum a^2c}=\frac{9}{\sum a^2b+2\sum a^2c}$$

Do đó chỉ cần chứng minh:

$$\sum a^2b+2\sum a^2c\leq 9$$

Thật vậy, BĐT trên đúng do:

• $a^2b+b^2c+c^2a\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}=\sqrt{3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leq \sqrt{3.\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}}=3$
• $2(a^2c+b^2a+c^2b)\leq 2\sqrt{(a^2c^2+a^2b^2+b^2c^2)(a^2+b^2+c^2)}\leq 2\sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}.3}=6$

Do đó BĐT được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

 

[babylearnmathmv]

 

$\dpi{150} a\geq b\geq c\rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} & & \\ \frac{1}{b+2c}\geq \frac{1}{c+2a}\geq \frac{1}{a+2b}& & \end{matrix}\right.\\chebyshev\sum \frac{a^{2}}{b+2c}\geq \frac{1}{3}(\sum a^{2})(\sum \frac{1}{b+2c})\geq \frac{\sum a^{2}}{\sum a}\geq \sqrt{\frac{\sum a^{2}}{3}}=1$

[Nam Duong]

$\dpi{150} a\geq b\geq c\rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} & & \\ \frac{1}{b+2c}\geq \frac{1}{c+2a}\geq \frac{1}{a+2b}& & \end{matrix}\right.\\chebyshev\sum \frac{a^{2}}{b+2c}\geq \frac{1}{3}(\sum a^{2})(\sum \frac{1}{b+2c})\geq \frac{\sum a^{2}}{\sum a}\geq \sqrt{\frac{\sum a^{2}}{3}}=1$

chưa chắc gì $c+2a \le a+2b$