Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{27}{10}$
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{27}{10}$
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{27}{10}$
Lâu rồi mới viết bài @-@
---------------------------
Đặt biểu thức bên trái là A
Ta có $A \leq \frac{27}{10} \Leftrightarrow 3-A=\sum(1-\frac{1}{a^2+1})=\sum\frac{a^2}{a^2+1} \geq \frac{3}{10}$
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
$\sum \frac{a^2}{a^2+1}=\sum \frac{a^4}{\sum a^4+\sum a^2} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+a^2+b^2+c^2} $
Ta quy bài toán về chứng minh: $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+a^2+b^2+c^2} \geq \frac{3}{10}$
$\leftrightarrow 10(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3(a^4+b^4+c^4)+3(a^2+b^2+c^2)$
Ý tưởng đến đây đã rõ ràng. Ta phải đưa $(a^4+b^4+c^4)$ về theo $(a^2+b^2+c^2)$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \leq (a^2+b^2+c^2)^2-2\frac{(ab+bc+ca)^2}{3}=(a^2+b^2+c^2)^2-\frac{[2(ab+bc+ca)]^2}{6}=(a^2+b^2+c^2)^2-\frac{[1-(a^2+b^2+c^2)]^2}{6}$
Vậy ta quy bài toán về chứng minh:
$10(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2)^2+3(a^2+b^2+c^2)-\frac{[1-(a^2+b^2+c^2)]^2}{2} $
Đặt $t=a^2+b^2+c^2 (t=a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}) $.
Ta cần chứng minh: $10t^2 \geq 3t^2+3t-\frac{(1-t)^2}{2}$
$\Leftrightarrow (3t-1)(5t-1) \geq 0$ :Đúng vì $t \geq \frac{1}{3}$
Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Lâu rồi mới viết bài @-@
---------------------------
Dậy sớm thật!
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{27}{10}$
Ta sẽ chọn $m$ để :
$\frac{1}{a^2+1} \leqslant \frac{9}{10} +m(3a-1)(1)$
Dễ dàng chọn được $m=\frac{-9}{50}$, Thật vậy , khi $m=\frac{-9}{50}$ thì ta có (1) tương đương với :
$$\frac{(3a-1)^2(4-3a)}{50(a^2+1)} \geqslant 0 $$
Làm tương tự rồi cộng vào ta có ngay điều phải chứng minh .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 01-07-2016 - 06:51
Dậy sớm thật!
Ta sẽ chọn $m$ để :
$\frac{1}{a^2+1} \leqslant \frac{9}{10} +m(3a-1)(1)$
Dễ dàng chọn được $m=\frac{-9}{50}$, Thật vậy , khi $m=\frac{-9}{50}$ thì ta có (1) tương đương với :
$$\frac{(3a-1)^2(4-3a)}{50(a^2+1)} \geqslant 0 $$
Làm tương tự rồi cộng vào ta có ngay điều phải chứng minh .
Đây phải chăng là phương pháp U.C.T ?. Nếu thế thì bạn cho mình hỏi tư duy để suy ra $m=\frac{-9}{50}$ được không. Cám ơn
Đây phải chăng là phương pháp U.C.T ?. Nếu thế thì bạn cho mình hỏi tư duy để suy ra $m=\frac{-9}{50}$ được không. Cám ơn
Đạo
Đây phải chăng là phương pháp U.C.T ?. Nếu thế thì bạn cho mình hỏi tư duy để suy ra $m=\frac{-9}{50}$ được không. Cám ơn
Ukm đúng $U.C.T$ rồi , chuyển sang thành :$\frac{(1-3x)(1+3x)}{10(x^2+1)} \leqslant m(3x-1)$
Hay là :$(3a-1)(m+\frac{(1+3a)}{10(a^2+1)}) \geqslant 0$
Lúc này thế $a=\frac{1}{3}$ vào $\frac{(1+3a)}{10(a^2+1)} $ ta được bằng $\frac{9}{50}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 01-07-2016 - 20:23
Đạo
Dạ em chưa học đến đó đâu anh Quang
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{27}{10}$
Đề như vầy sẽ vui hơn “Hãy chứng minh bất đẳng thức trong trường hợp $a,b,c$ là các số thực.”
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh