Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{27}{10}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
trungdung19122002

trungdung19122002

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{27}{10}$

 



#2
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{27}{10}$

Lâu rồi mới viết bài @-@

---------------------------
Đặt biểu thức bên trái là A
 

Ta có $A \leq \frac{27}{10} \Leftrightarrow 3-A=\sum(1-\frac{1}{a^2+1})=\sum\frac{a^2}{a^2+1} \geq \frac{3}{10}$
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:

$\sum \frac{a^2}{a^2+1}=\sum \frac{a^4}{\sum a^4+\sum a^2} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+a^2+b^2+c^2} $

Ta quy bài toán về chứng minh: $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+a^2+b^2+c^2} \geq \frac{3}{10}$

                                $\leftrightarrow 10(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3(a^4+b^4+c^4)+3(a^2+b^2+c^2)$

Ý tưởng đến đây đã rõ ràng. Ta phải đưa $(a^4+b^4+c^4)$ về theo $(a^2+b^2+c^2)$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM  ta có:

$a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \leq (a^2+b^2+c^2)^2-2\frac{(ab+bc+ca)^2}{3}=(a^2+b^2+c^2)^2-\frac{[2(ab+bc+ca)]^2}{6}=(a^2+b^2+c^2)^2-\frac{[1-(a^2+b^2+c^2)]^2}{6}$
Vậy ta quy bài toán về chứng minh:

   $10(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2)^2+3(a^2+b^2+c^2)-\frac{[1-(a^2+b^2+c^2)]^2}{2} $
Đặt $t=a^2+b^2+c^2 (t=a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}) $.

                                                Ta cần chứng minh: $10t^2 \geq 3t^2+3t-\frac{(1-t)^2}{2}$ 

                                                          $\Leftrightarrow (3t-1)(5t-1) \geq 0$ :Đúng vì $t \geq \frac{1}{3}$

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$



#3
Thislife

Thislife

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Lâu rồi mới viết bài @-@

---------------------------

 

Dậy sớm thật!

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{27}{10}$

Ta sẽ chọn $m$ để : 

$\frac{1}{a^2+1} \leqslant \frac{9}{10} +m(3a-1)(1)$

Dễ dàng chọn được $m=\frac{-9}{50}$, Thật vậy , khi $m=\frac{-9}{50}$ thì  ta có (1) tương đương với :

$$\frac{(3a-1)^2(4-3a)}{50(a^2+1)} \geqslant 0 $$

Làm tương tự rồi cộng vào ta có ngay điều phải chứng minh . 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 01-07-2016 - 06:51


#4
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Dậy sớm thật!

Ta sẽ chọn $m$ để : 

$\frac{1}{a^2+1} \leqslant \frac{9}{10} +m(3a-1)(1)$

Dễ dàng chọn được $m=\frac{-9}{50}$, Thật vậy , khi $m=\frac{-9}{50}$ thì  ta có (1) tương đương với :

$$\frac{(3a-1)^2(4-3a)}{50(a^2+1)} \geqslant 0 $$

Làm tương tự rồi cộng vào ta có ngay điều phải chứng minh . 

Đây phải chăng là phương pháp U.C.T ?. Nếu thế thì bạn cho mình hỏi tư duy để suy ra $m=\frac{-9}{50}$ được không. Cám ơn



#5
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Đây phải chăng là phương pháp U.C.T ?. Nếu thế thì bạn cho mình hỏi tư duy để suy ra $m=\frac{-9}{50}$ được không. Cám ơn

Đạo 



#6
Thislife

Thislife

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Đây phải chăng là phương pháp U.C.T ?. Nếu thế thì bạn cho mình hỏi tư duy để suy ra $m=\frac{-9}{50}$ được không. Cám ơn

Ukm đúng $U.C.T$ rồi , chuyển sang thành :$\frac{(1-3x)(1+3x)}{10(x^2+1)} \leqslant m(3x-1)$

Hay là :$(3a-1)(m+\frac{(1+3a)}{10(a^2+1)}) \geqslant 0$

Lúc này thế  $a=\frac{1}{3}$ vào $\frac{(1+3a)}{10(a^2+1)} $ ta được bằng $\frac{9}{50}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 01-07-2016 - 20:23


#7
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Đạo 

Dạ em chưa học đến đó đâu anh Quang -_-  :mellow:



#8
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{27}{10}$

 

Đề như vầy sẽ vui hơn “Hãy chứng minh bất đẳng thức trong trường hợp $a,b,c$ là các số thực.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh