Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Min $P=\sqrt{x^2+(1-yz)^2}+\sqrt{y^2+(1-xz)^2}+\sqrt{z^2+(1-xy)^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết

Bài 1 : Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$ 

 Tìm Min $P=3(x^2y^2+x^2z^2+x^2y^2)+3(xy+yz+zx)+2\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Bài 2 : Cho $x^2+y^2+z^2=1$

 Tìm Min $P=\sqrt{x^2+(1-yz)^2}+\sqrt{y^2+(1-xz)^2}+\sqrt{z^2+(1-xy)^2}$


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#2
leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết

Bài 1 : Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$ 

 Tìm Min $P=3(x^2y^2+x^2z^2+x^2y^2)+3(xy+yz+zx)+2\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

 

Đặt $t=xy+yz+zx \rightarrow t=xy+yz+zx \leq \dfrac{(x+y+z)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$

 

$P \geq (xy+yz+zx)^2+3(xy+yz+zx)+2\sqrt{(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)}$

 

$\rightarrow P \geq t^2+3t+2\sqrt{1-2t}$

 

TXĐ: $t \in [0;\dfrac{1}{3}]$

 

Ta có: $f(t)'=2t+3-\dfrac{2}{\sqrt{1-2t}}$

 

$f(t)'=0 \rightarrow (2t+3)\sqrt{1-2t}=2$

 

$\rightarrow (2t+3)^2(1-2t)-4=0$

 

$\rightarrow -8t^3-20t^2-6t+5=0$

 

với $t \in [0; \dfrac{1}{3}] \rightarrow -8t^3-20t^2-6t+5 \geq \dfrac{13}{27}>0$ 

 

$\rightarrow f'(t)=0$ vô nghiệm

 

$f(0)=2$

 

$f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{10+6\sqrt{3}}{9}$

 

Vậy $Min_P=f(0)=\sqrt{2} \iff (x;y;z)=(1;0;0)$ và các hoán vị

 

Bài đã sửa !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 02-07-2016 - 08:03

Don't care


#3
cyndaquil

cyndaquil

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

 

 

$P \geq (xy+yz+zx)^2+3(xy+yz+zx)+\color{red}{\sqrt{2(x+y+z)^2-4(xy+yz+zx)}}$

 

 

 

có nhầm lẫn xíu :D



#4
cyndaquil

cyndaquil

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

2) Áp dụng bdt minkovski 

$P \ge \sqrt{(x+y+z)^2 +\Big[3-(xy+yz+zx) \Big]^2}$
$=\sqrt{1+2(xy+yz+zx)+\Big[3-(xy+yz+zx) \Big]^2}$
$=\sqrt{\Big[(xy+yz+zx)^2+1 \Big]+\Big[9-4(xy+yz+zx) \Big]}$
$\ge \sqrt{9-2(xy+yz+zx)} \ge \sqrt{9-2(x^2+y^2+z^2)}=\sqrt 7$


#5
ngoalong131209

ngoalong131209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

làm s suy ra dk f(t)' zạy a



#6
leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết

có nhầm lẫn xíu :D

Nhầm lẫm nghiêm trọng ! Nhưng hướng làm cho bài này vẫn là sử dụng đạo hàm thôi !

 

Đã sửa ở bài trên !


Don't care





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh