Chi các số thực $x,y,z\geq 1$ và thỏa mãn $3(x+y+z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy$
Tìm GTNN của $P=\frac{x^{2}}{(x+y)^{2}+x}+\frac{x}{z^{2}+x}$
Tìm GTNN của $P=\frac{x^{2}}{(x+y)^{2}+x}+\frac{x}{z^{2}+x}$
Bắt đầu bởi thinhnarutop, 01-07-2016 - 21:18
#2
Đã gửi 01-07-2016 - 21:56
Baoriven
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 1423 Bài viết
Thượng úy
Ta có: $x^2\geq x$ suy ra: $P\geq x(\frac{1}{(x+y)^2+x}+\frac{1}{z^2+x})\geq \frac{4x}{(x+y)^2+z^2+2x}$
Theo giả thiết ta lại có:
$(x+y)^2+z^2=3[(x+y)+z]\leq 3\sqrt{2[(x+y)^2+z^2]}\Rightarrow (x+y)^2+z^2\leq 18$
Suy ra: $P\geq \frac{4x}{18+2x}=2-\frac{18}{x+9}\geq 2-\frac{18}{1+9}=\frac{1}{5}$
Dấu bằng xảy ra khi $x=1;y=2;z=3$
- hoakute và thinhnarutop thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
