Chủ đề này có 1 trả lời

[ngoalong131209]

Cho n$\geq$2,n$\epsilon$N. Cho tập A={1;2;3;,,,;n}.Tập con B của tập A được gọi là 1 tập ''tốt'' nếu B khác rỗng và trung bình cộng của các phần tử của B là 1 số nguyên.Gọi $T_{n}$ là số các tập ''tốt'' của tập A. CMR: $T_{n}$-n là 1 số chẵn

[BurakkuYokuro11]

Bài toán quen thuộc sử dụng phương pháp song ánh

Ta bỏ đi $n$ tập con có $1$ phần tử của $T_n$

$T_n-n$ tập "tốt" còn lại chia vào $2$ loại: Tập đó chứa trung bình cộng các phần tử của nó hoặc Tập đó không chứa trung bình cộng các phần tử của nó

Giờ xét tập con của $S=\{a_1,a_2,...,a_k\}$ trong đó trung bình cộng của các phần tử của nó là $a_k$. Khi đó $S \setminus \{a_k\}$ cũng là một tập "tốt" và nó không chứa trung bình cộng các phần tử của nó. Dễ thấy phép biến đổi này là một đơn ánh

Tương tự nếu $S=\{a_1,...,a_k\}$ có trung bình cộng các phần tử của $S$ là $b$ và $b \neq a_i$. Dễ thấy $k<n$ vì $\dfrac{1+2+...+n}{n}$ nếu là số nguyên thì nó cũng nằm trong $X$. Do đó nếu xét $S'$ là hợp của $S$ với $b$ thì $S'$ là một tập con của $X$ và dễ thấy đây cũng là một đơn ánh

Vậy tồn tại một song ánh đi từ $2$ loại tập tốt này vào nhau. Do đó số lượng tập tốt ở mỗi loại này bằng nhau

Do đó $T_n -n  \vdots 2$

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 03-06-2019 - 10:23