Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $x,y,z>0$ và $z(z-x-y)=x+y+1$. Tìm GTLN của $M=\frac{x^4y^4}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)^3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
eminemdech

eminemdech

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Cho $x,y,z>0$ và $z(z-x-y)=x+y+1$. Tìm GTLN của $M=\frac{x^4y^4}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)^3}$



#2
leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết

Cho $x,y,z>0$ và $z(z-x-y)=x+y+1$. Tìm GTLN của $M=\frac{x^4y^4}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)^3}$

 

Từ giả thiết: $\rightarrow (z+1)(x+y+1-z)=0$

 

$\rightarrow x+y+1=z$

 

Thay vào ta có: $M=\dfrac{x^4y^4}{(x+y)^2[(x+1)(y+1)]^4} \leq \dfrac{x^4y^4}{4xy(\sqrt{xy}+1)^8}=\dfrac{x^3y^3}{4(\sqrt{xy}+1)^8}$

 

Đặt $\sqrt{xy}=a \rightarrow t \in (0;+\infty)$

 

Thay vào ta có: $M=\dfrac{a^6}{4(a+1)^8}$

 

Đạo hàm trên TXĐ: $D=(0;+\infty)$ ta được: $a=3 \rightarrow M(3)=\dfrac{729}{262144}$

 

Mà hàm nghịch biến nên $Max_{M}=\dfrac{729}{262144}$

 

Dấu "=" $\iff x=y=3;z=7$


Don't care





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh