Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $x,y,z>0$ và $z(z-x-y)=x+y+1$. Tìm GTLN của $M=\frac{x^4y^4}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)^3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 eminemdech

eminemdech

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Chuyên Việt Nam
  • Sở thích:Làm toán

Đã gửi 03-07-2016 - 19:48

Cho $x,y,z>0$ và $z(z-x-y)=x+y+1$. Tìm GTLN của $M=\frac{x^4y^4}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)^3}$



#2 leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{blue}{\text{THPT Thanh Thủy}}$
  • Sở thích:$\color{Blue}{\text{Bầu trời xanh của tôi}}$

Đã gửi 04-07-2016 - 21:19

Cho $x,y,z>0$ và $z(z-x-y)=x+y+1$. Tìm GTLN của $M=\frac{x^4y^4}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)^3}$

 

Từ giả thiết: $\rightarrow (z+1)(x+y+1-z)=0$

 

$\rightarrow x+y+1=z$

 

Thay vào ta có: $M=\dfrac{x^4y^4}{(x+y)^2[(x+1)(y+1)]^4} \leq \dfrac{x^4y^4}{4xy(\sqrt{xy}+1)^8}=\dfrac{x^3y^3}{4(\sqrt{xy}+1)^8}$

 

Đặt $\sqrt{xy}=a \rightarrow t \in (0;+\infty)$

 

Thay vào ta có: $M=\dfrac{a^6}{4(a+1)^8}$

 

Đạo hàm trên TXĐ: $D=(0;+\infty)$ ta được: $a=3 \rightarrow M(3)=\dfrac{729}{262144}$

 

Mà hàm nghịch biến nên $Max_{M}=\dfrac{729}{262144}$

 

Dấu "=" $\iff x=y=3;z=7$


Don't care





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh