Cho $x,y,z>0$ và $z(z-x-y)=x+y+1$. Tìm GTLN của $M=\frac{x^4y^4}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)^3}$
Cho $x,y,z>0$ và $z(z-x-y)=x+y+1$. Tìm GTLN của $M=\frac{x^4y^4}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)^3}$
Bắt đầu bởi eminemdech, 03-07-2016 - 19:48
#1
Đã gửi 03-07-2016 - 19:48
#2
Đã gửi 04-07-2016 - 21:19
Cho $x,y,z>0$ và $z(z-x-y)=x+y+1$. Tìm GTLN của $M=\frac{x^4y^4}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)^3}$
Từ giả thiết: $\rightarrow (z+1)(x+y+1-z)=0$
$\rightarrow x+y+1=z$
Thay vào ta có: $M=\dfrac{x^4y^4}{(x+y)^2[(x+1)(y+1)]^4} \leq \dfrac{x^4y^4}{4xy(\sqrt{xy}+1)^8}=\dfrac{x^3y^3}{4(\sqrt{xy}+1)^8}$
Đặt $\sqrt{xy}=a \rightarrow t \in (0;+\infty)$
Thay vào ta có: $M=\dfrac{a^6}{4(a+1)^8}$
Đạo hàm trên TXĐ: $D=(0;+\infty)$ ta được: $a=3 \rightarrow M(3)=\dfrac{729}{262144}$
Mà hàm nghịch biến nên $Max_{M}=\dfrac{729}{262144}$
Dấu "=" $\iff x=y=3;z=7$
- thuylinhnguyenthptthanhha yêu thích
Don't care
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh