USA TSTST 2016
(USA Team Selection Test for the Selection Team 2016)
Ngày 1 (25/6/2016)
Bài 1: Cho hai đa thức $A=A(x,y)$ và $B=B(x,y)$ là hai đa thức hai biến với hệ số thực. Giả sử rằng $A(x,y)/B(x,y)$ là đa thức theo $x$ với vô số giá trị của $y$ và là đa thức theo $y$ với vô số giá trị của $x$. Chứng minh rằng $B | A$, tức là tồn tại một đa thức $C$ với hệ số thực thỏa $A=B.C$
Bài 2: Cho $ABC$ là một tam giác không đều với trực tâm $H$ và tâm ngoại tiếp $O$. Gọi $M,N$ là trung điểm của $AH$ và $BC$ tương ứng. Giả sử đường tròn $\gamma$ với đường kính $AH$ cắt $(ABC)$ tại $G\neq A$ và cắt đường thẳng $AN$ tại $Q\neq A$. Tiếp tuyến tại $G$ của $\gamma$ cắt đường thẳng $OM$ tại $P$. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường tròn $(GNQ)$ và $(MBC)$ cắt nhau tại điểm $T$ nằm trên $PN$.
Bài 3: Có tồn tại hay không một đa thức khác hằng $Q(n)$ với hệ số nguyên thỏa mãn tính chất: Với mọi số nguyên dương $n>2$ thì các số:
$Q(0),Q(1),Q(2),...,Q(n-1)$
nhận không quá $0,499n$ số dư phân biệt theo modulo $n$.
Ngày 2 (27/6/2016)
Bài 4: Giả sử $n$ và $k$ là các số nguyên dương thỏa mãn:
$\underbrace{\varphi (\varphi (...\varphi }_{\text{k lần}}(n)...))=1$
Chứng minh rằng $n\leq 3^k$.
Trong đó kí hiệu $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương trong tập $\left \{ 1,2,3,...,n \right \}$ mà nguyên tố cùng nhau với $n$.
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ có hữu hạn các bức tường là các đoạn thẳng không giao nhau và không có đoạn nào song song với các trục tọa độ. Một chiếc xe ủi bắt đầu từ một điểm bất kì trên mặt phẳng và di chuyển theo hướng dương của trục hoành. Mỗi khi tông một bức tường, chiếc xe sẽ rẽ một góc vuông và đi xa ra khỏi bức tường đó. ( Vì vậy mà chiếc xe luôn chuyển động song song với các trục tọa độ).
Chứng minh rằng chiếc xe không thể tông cả hai mặt của tất cả các bức tường.
Bài 6: Một tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$ và đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại các điểm $D,E,F$. Gọi $K$ là chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống $EF$. Giả sử rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB$ gặp đường tròn nội tiếp tại hai điểm phân biệt $C_1,C_2$, và đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIC$ gặp đường tròn nội tiếp tại hai điểm phân biệt $B_1,B_2$. Chứng minh rằng trục đẳng phương của $(BB_1B_2)$ và $(CC_1C_2)$ đi qua trung điểm $M$ của $DK$.