Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

USA TSTST 2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nothingness
  • Sở thích:unknown

Đã gửi 04-07-2016 - 17:41

USA TSTST 2016

(USA Team Selection Test for the Selection Team 2016)

 

Ngày 1 (25/6/2016)

 

Bài 1: Cho hai đa thức $A=A(x,y)$ và $B=B(x,y)$ là hai đa thức hai biến với hệ số thực. Giả sử rằng $A(x,y)/B(x,y)$ là đa thức theo $x$ với vô số giá trị của $y$ và là đa thức theo $y$ với vô số giá trị của $x$. Chứng minh rằng $B | A$, tức là tồn tại một đa thức $C$ với hệ số thực thỏa $A=B.C$

 

Bài 2: Cho $ABC$ là một tam giác không đều với trực tâm $H$ và tâm ngoại tiếp $O$. Gọi $M,N$ là trung điểm của $AH$ và $BC$ tương ứng. Giả sử đường tròn $\gamma$ với đường kính $AH$ cắt $(ABC)$ tại $G\neq A$ và cắt đường thẳng $AN$ tại $Q\neq A$. Tiếp tuyến tại $G$ của $\gamma$ cắt đường thẳng $OM$ tại $P$. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường tròn $(GNQ)$ và $(MBC)$ cắt nhau tại điểm $T$ nằm trên $PN$.

 

Bài 3: Có tồn tại hay không một đa thức khác hằng $Q(n)$ với hệ số nguyên thỏa mãn tính chất: Với mọi số nguyên dương $n>2$ thì các số:

$Q(0),Q(1),Q(2),...,Q(n-1)$

nhận không quá $0,499n$ số dư phân biệt theo modulo $n$.

 

Ngày 2 (27/6/2016)

Bài 4: Giả sử $n$ và $k$ là các số nguyên dương thỏa mãn:

$\underbrace{\varphi (\varphi (...\varphi }_{\text{k lần}}(n)...))=1$

Chứng minh rằng $n\leq 3^k$.

Trong đó kí hiệu $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương trong tập $\left \{ 1,2,3,...,n \right \}$ mà nguyên tố cùng nhau với $n$.

 

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ có hữu hạn các bức tường là các đoạn thẳng không giao nhau và không có đoạn nào song song với các trục tọa độ. Một chiếc xe ủi bắt đầu từ một điểm bất kì trên mặt phẳng và di chuyển theo hướng dương của trục hoành. Mỗi khi tông một bức tường, chiếc xe sẽ rẽ một góc vuông và đi xa ra khỏi bức tường đó. ( Vì vậy mà chiếc xe luôn chuyển động song song với các trục tọa độ).

Chứng minh rằng chiếc xe không thể tông cả hai mặt của tất cả các bức tường.

 

Bài 6: Một tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$ và đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại các điểm $D,E,F$. Gọi $K$ là chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống $EF$. Giả sử rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB$ gặp đường tròn nội tiếp tại hai điểm phân biệt $C_1,C_2$, và đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIC$ gặp đường tròn nội tiếp tại hai điểm phân biệt $B_1,B_2$. Chứng minh rằng trục đẳng phương của $(BB_1B_2)$ và $(CC_1C_2)$ đi qua trung điểm $M$ của $DK$.

 

Nguồn

P.s


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#2 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-07-2016 - 19:14

Bài 6. Bổ đề. Cho tam giác $ABC$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(ABC)$ cắt đường thẳng qua $B\perp AB$, đường thẳng qua $C\perp AC$ tại $P,Q.M\equiv PC\cap BQ.A'$ là đối xứng của $A$ qua trung điểm $BC$. Khi đó $MA'$ đi qua chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$.

Chứng minh. $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BC.N\equiv BP\cap CQ$

Dễ thấy $A'$ là trực tâm tam giác $BNC$ nên $A'$ thuộc trục đẳng phương của $(BQ),(PC)$. Do $P,B,C,Q$ đồng viên nên $MP.MC=MQ.MB$ suy ra $M$ nằm trên trục đẳng phương của $(BQ),(QC)$. Mặt khác dễ thấy $\frac{HB}{HC}=\frac{AP}{AQ}=\frac{HC}{HY}$ nên $HB.HY=HC.HX$ suy ra $H$ thuộc trục đẳng phương của $(BQ)(CP)$

Do đó $M,H,A'$ thẳng hàng.$\blacksquare$

Post 246.png

Giải bài toán:

$M,N$ theo thứ tự là trung điểm $DE,DF.\left \{ A_1;A_2 \right \}\equiv MN\cap (I)$ Do $NA_1.NA_2=NF.ND=ND^2=NB.NI$ nên $B,A_1,C,I$ đồng viên. Tương tự thì $C,A_2,B,I$ đồng viên do đó $\left \{ A_1;A_2 \right \}\equiv (BIC) \cap (I)$. Tương tự thì $B_1B_2,C_1C_2$ là các đường trung bình của tam giác $DEF$.

Post 247.png

$P$ là trung điểm $EF$ suy ra $P\equiv B_1B_2\cap C_1C_2$. Do $PB_1.PB_2=PC_1.PC_2$ nên $P$ thuộc trục đẳng phương của $(BB_1B_2)$ và $(CC_1C_2)$. Mặt khác do $MB_1.MB_2=MA_1.MA_2$ nên $M$ thuộc trục đẳng phương của $(BIC)$ và $(BB_1B_2)$. Tương tự thì $N$ thuộc trục đẳng phương của $(BIC)$ và $(CC_1C_2)$ do đó theo định lí về tâm đẳng phương thì trục đẳng phương của $(BB_1B_2)$ và $(CC_1C_2)$ đi qua giao điểm của $BM,CN$.

 

$X\equiv BM\cap CN$ suy ra $PX$ là trục đẳng phương của $(BB_1B_2)$ và $(CC_1C_2)$. Theo bổ đề suy ra $PX$ đi qua hình chiếu của $D$ lên $MN$ do đó $PX$ chia đôi $DK.\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 04-07-2016 - 22:43


#3 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-07-2016 - 20:44

Bài 2.

Post 248.png

 Do $OM\perp AG$ nên $PA$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(AH)$ do đó $AG$ là đường đối cực $P$ đối với $(AH)$.

Gọi $E,F$ theo thứ tự là hình chiếu của $B,C$ lên $CA,AB$. Theo định lí về tâm đẳng phương thì $EF,AG,BC$ đồng quy tại $T$. 

Dễ thấy $EF$ là đường đối cực của $N$ đối với $(AH)$ do đó $PN$ là đường đối cực của $T$ đối với $(AH)$ suy ra $MT\perp NP$.

 

$D$ là hình chiếu của $A$ lên $BC$. Do $MXDN$ nội tiếp nên $TX.TM=TD.TN$. Mặt khác do $(TD,BC)=-1$ nên theo hệ thức $Maclaurin$ suy ra $TB.TC=TD.TN$ do đó $TX.TM=TB.TX$ kéo theo $MXBC$ nội tiếp. Từ đây chú ý $D$ là trung điểm $TN$ nên $X$ thuộc $(GQN)$ do đó ta có điều phải chứng minh.$\blacksquare$

 

PS.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 04-07-2016 - 20:44


#4 JUV

JUV

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định
  • Sở thích:Manga, Music

Đã gửi 04-07-2016 - 21:05

Bài 5: Giả sử xe ủi có thể đi được như đề bài yêu cầu. Ta đặt $1$ con kiến ở $1$ đầu mút của $1$ bức tường có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng bất kì đầu mút nào của các bức tường khác. Sau đó con kiến sẽ di chuyển ngang theo chiều dương của trục Ox theo quy tắc sau:

-Khi con kiến đang di chuyển dọc theo $1$ bức tường thì nếu đến lúc nào đó khi phía trên nó là $1$ đầu mút của bức tường khác thì nó sẽ nhảy lên đầu mút đó rồi di chuyển tiếp( trường hợp có nhiều đầu mút thì chọn đầu mút có tung độ lớn nhất)

-Nếu con kiến đi từ đầu đến hết một bức tường mà tại mọi thời điểm không có đầu mút của bức tường nào phía trên nó thì nó sẽ dừng di chuyển.

Ta thấy rằng đến $1$ lúc nào đó con kiến sẽ dừng di chuyển. Lúc đó có $1$ bức tường mà $1$ đầu mút của nó là điểm mà con kiến dừng lại. Khi đó bất kì điểm nào nằm vào phía trên của bức tường đó và hoành độ nằm vào khoảng giữa $2$ hoành độ của $2$ đầu mút bức tường thì điểm đó sẽ không nằm vào bất kì bức tường nào. Vì vậy để xe ủi có thể đi vào mặt trên bức tường đó thì xe phải đi đến mặt đó từ phía ngang. Vì vậy khi đâm vào mặt đó thì xe ủi sẽ đi lên trên và không đâm vào bất cứ bức tường nào nữa. Vì vậy sau khi tông vào cả $2$ mặt của tất cả bức tường, xe ủi sẽ đi lên trên. Chứng minh tương tự thì sau khi tông vào tất cả các bức tường, xe ủi sẽ đi xuống dưới, suy ra mâu thuẫn. Từ đó suy ra dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 06-07-2016 - 19:59


#5 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4118 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 05-07-2016 - 15:37

"$B$ divides $A$" nghĩa là "$B$ là ước của $A$" chứ không phải "$B$ chia hết $A$" (viết thế dễ gây hiểu nhầm trong tiếng việt).


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh