Chủ đề này có 1 trả lời

[chanlerscofield]

Cho $a,b,c>0$ có tổng bằng $3$. Chứng minh $\frac{a(a+c-2b)}{ab+1}+\frac{b(b+a-2c)}{bc+1}+\frac{c(c+b-2a)}{ca+1}\geq 0$

 

[Minhnguyenthe333]

Thay $a+c=3-b$ và tương tự cho $b+a;c+b$

BĐT$<=>\sum \frac{3a-3ab}{a+1}\geqslant 0<=> \sum \frac{3(a+1)}{ab+1}\geqslant 9<=>\sum \frac{a+1}{ab+1}\geqslant 3$

 

Áp dụng bđt Cauchy: $VT\geqslant 3\sqrt[3]{\prod \frac{(a+1)}{(ab+1)}}$

 

Do đó ta cần chứng minh: $3\sqrt[3]{\prod \frac{(a+1)}{(ab+1)}}\geqslant 3$

 

$<=>\prod (a+1)\geqslant \prod (ab+1)<=>(abc)^2+2abc-3\leqslant 0$

 

$<=>(abc-1)(abc+3)\leqslant 0<=>abc\leqslant 1$ (luôn đúng theo Cauchy)

 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 04-07-2016 - 20:28