Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{3a^2+5}+\frac{b}{3b^2+5}+\frac{c}{3c^2+5}+\frac{d}{3d^2+5}\leq \frac{1}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Thoang0913

Thoang0913

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Cho a,b,c,d không âm thỏa mãn: $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{3a^2+5}+\frac{b}{3b^2+5}+\frac{c}{3c^2+5}+\frac{d}{3d^2+5}\leq \frac{1}{2}$



#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Ta có: $3a^2-6a+3\geq 0\Rightarrow 3a^2+5\geq 6a+2\Rightarrow \frac{a}{3a^2+5}\leq \frac{a}{6a+2}$

Suy ra: $\frac{a}{3a^2+5}+\frac{b}{3b^2+5}+\frac{c}{3c^2+5}+\frac{d}{3d^2+5}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{3a+1}+\frac{b}{3b+1}+\frac{c}{3c+1}+\frac{d}{3d+1})$

Ta cần chứng minh: 

$\frac{1}{2}(\frac{a}{3a+1}+\frac{b}{3b+1}+\frac{c}{3c+1}+\frac{d}{3d+1})\leq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{3a+1-1}{3a+1}+\frac{3b+1-1}{3b+1}+\frac{3c+1-1}{3c+1}+\frac{3c+1-1}{3c+1}\leq 3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}+\frac{1}{3d+1}\geq 1$ 

BĐT cuối đúng nhờ sử dụng C-S:

$\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}+\frac{1}{3d+1}\geq \frac{4^2}{3(a+b+c+d)+4}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 04-07-2016 - 22:16

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#3
Thislife

Thislife

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Cho a,b,c,d không âm thỏa mãn: $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{3a^2+5}+\frac{b}{3b^2+5}+\frac{c}{3c^2+5}+\frac{d}{3d^2+5}\leq \frac{1}{2}$

Lg: Ta chứng minh $\frac{a}{3a^2+5} \leqslant \frac{1}{8} +\frac{a-1}{32} \Leftrightarrow  \frac{(a-1)^2(3a+15)}{32(3a^2+5)} \geqslant 0$

Làm tương tự với các biến còn lại rồi cộng lại ta có đpcm.

P\s : hình như em cuồng $U.C.T$ rồi ấy  :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 05-07-2016 - 07:21





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh