Chủ đề này có 6 trả lời

[bovuotdaiduong]

CMR với a,b là các số tự nhiên, nếu a, b đều không chia hết cho 5 thì $a^2+ab+b^2$ không chia hết cho 5.

[O0NgocDuy0O]

Dùng phản chứng đi bạn !

$a^{2}+ab+b^{2}\vdots 5\Rightarrow a^{3}-b^{3}\equiv 0(mod5)\Rightarrow a\equiv b(mod5)\Rightarrow a^{2}+ab+b^{2}\equiv 3a^{2}\equiv 0(mod5)\Rightarrow a\equiv 0(mod5)$( Vô lí)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 06-07-2016 - 15:47

[thinhnarutop]

Giả sử a^2 + ab + b^2 chia hết cho 5. Ta sẽ chứng minh a,b có ít nhất một số chia hết cho 5
Ta có a^2 + ab + b^2 đồng dư 0 (mod 5)
<=> a^3 đồng dư b^3 (mod 5)
<=> a đồng dư b (mod 5)
Do đó a^2 + ab + b^2 đồng dư 3a^2 (mod 5)
Suy ra a đồng dư 0 (mod 5) hay a chia hết cho 5 (trái với giả thiết)
Vậy điều giả sử là sai
Vậy đpcm

[bovuotdaiduong]

Mình muốn tìm cách khác không dùng phản chứng.

[dungxibo123]

Mình muốn tìm cách khác không dùng phản chứng.

nếu bạn không dùng phản chứng thì phải dùng đồng dư xét từng trường hợp a đồng dư 1,2,3,4 b đồng dư 1,2,3,4 theo môdun 5 thôi

[Namthemaster1234]

Dùng phản chứng đi bạn !

$a^{2}+ab+b^{2}\vdots 5\Rightarrow a^{3}-b^{3}\equiv 0(mod5)\Rightarrow a\equiv b(mod5)\Rightarrow a^{2}+ab+b^{2}\equiv 3a^{2}\equiv 0(mod5)\Rightarrow a\equiv 0(mod5)$( Vô lí)

 

Giả sử a^2 + ab + b^2 chia hết cho 5. Ta sẽ chứng minh a,b có ít nhất một số chia hết cho 5
Ta có a^2 + ab + b^2 đồng dư 0 (mod 5)
<=> a^3 đồng dư b^3 (mod 5)
<=> a đồng dư b (mod 5)
Do đó a^2 + ab + b^2 đồng dư 3a^2 (mod 5)
Suy ra a đồng dư 0 (mod 5) hay a chia hết cho 5 (trái với giả thiết)
Vậy điều giả sử là sai
Vậy đpcm

 

Quái! Sao $a^3 \equiv b^3 $ thì $a \equiv b$ vậy

 

Bài này ta sẽ chứng minh $5 \mid a^2+b^2+ab$ khi và chỉ khi $5 \mid a,b$

 

Thật vậy $5 \mid (2a+b)^2+3b^2$ .

 

Nếu $2a+b$ và $b$ đều không chia hết cho 5 thì do một số chính phương khi chia cho 5 dư $1,4$ nên

 

$LHS \equiv 1,2,3,4$ . Vô lý.

 

Nên $5 \mid 2a+b$ và $5 \mid b$. Đây chính là điều phải chứng minh

 

Có lời tổng quát rất hay cho bài này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 09-07-2016 - 14:59

[O0NgocDuy0O]

Quái! Sao $a^3 \equiv b^3 $ thì $a \equiv b$ vậy

 

Bài này ta sẽ chứng minh $5 \mid a^2+b^2+ab$ khi và chỉ khi $5 \mid a,b$

 

Thật vậy $5 \mid (2a+b)^2+3b^2$ .

 

Nếu $2a+b$ và $b$ đều không chia hết cho 5 thì do một số chính phương khi chia cho 5 dư $1,4$ nên

 

$LHS \equiv 1,2,3,4$ . Vô lý.

 

Nên $5 \mid 2a+b$ và $5 \mid b$. Đây chính là điều phải chứng minh

 

Có lời tổng quát rất hay cho bài này

Em nghĩ là: $a,b$ chỉ có thể $\equiv 0,\pm 1,\pm 2(mod5)\Rightarrow$ $a^{3},b^{3}$ chỉ có thể $\equiv 0,\pm 1,-2,-3(mod5)$. Do đó để $a^{3}\equiv b^{3}(mod5)$ thì $a \equiv b(mod5)$

Nhân tiện anh có thể post đề và lời giải cho bài toán tổng quát không ạ