Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN của $P=a^2b^3c^4$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN của $P=a^2b^3c^4$
#1
Đã gửi 06-07-2016 - 15:20
#2
Đã gửi 06-07-2016 - 15:35
Sử dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{2a}{\frac{\sqrt{2}}{3}}+\frac{3b}{\frac{\sqrt{3}}{3}}+\frac{4c}{\frac{2}{3}}\geq 9\sqrt[9]{\frac{a^2b^3c^4}{(\frac{\sqrt{2}}{3})^2(\frac{\sqrt{3}}{3})^3(\frac{2}{3})^4}}$
Sử dụng BĐT C-S ta có:
$\frac{2a}{\frac{\sqrt{2}}{3}}+\frac{3b}{\frac{\sqrt{3}}{3}}+\frac{4c}{\frac{2}{3}}\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)((\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{3}})^2+(\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}})^2+(\frac{4}{\frac{2}{3}})^2)}=9$
Suy ra: $P\leq a^2b^3c^4\leq \frac{32\sqrt{3}}{6561}$
Đẳng thức xảy ra khi: $a=\frac{\sqrt{2}}{3};b=\frac{\sqrt{3}}{3};c=\frac{2}{3}$
- eminemdech và nguyenduy287 thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#3
Đã gửi 06-07-2016 - 15:39
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN của $P=a^2b^3c^4$
bài này xương xẩu dó
$P^2=a^4b^6c^8=2^23^34^4(\frac{1}{2}a^2.\frac{1}{2}a^2.\frac{1}{3}b^2.\frac{1}{3}b^2.\frac{1}{3}b^2.\frac{1}{4}c^2.\frac{1}{4}c^2.\frac{1}{4}c^2.\frac{1}{4}c^2)\leq 2^23^34^4.(\frac{1}{9})^9$
suy ra min $P=\frac{32\sqrt{3}}{6561}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenduy287: 06-07-2016 - 15:47
"DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "
-Henry Ford -
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh