Chủ đề này có 8 trả lời

[nguyenduy287]

Giả sử a,b,c là các số dương sao cho $a^2+b^2+c^2=3$

Chứng minh rằng 

$5(a+b+c)+\frac{3}{abc}\geq 18$

[NTA1907]

Giả sử a,b,c là các số dương sao cho $a^2+b^2+c^2=3$

Chứng minh rằng 

$5(a+b+c)+\frac{3}{abc}\geq 18$

Áp dụng AM-GM ta có:

$5(a+b+c)+\frac{3}{abc}\geq 6\sqrt[6]{\frac{3(a+b+c)^{5}}{abc}}$

Ta có:

$3abc(a+b+c)=abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{1}{3}.\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca)^{3}}{27}=\frac{(a+b+c)^{6}}{81}$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^{5}\geq 243abc$

Khi đó ta có:

$5(a+b+c)+\frac{3}{abc}\geq 6\sqrt[6]{\frac{3.243abc}{abc}}=18$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

[Phung Quang Minh]

Áp dụng AM-GM ta có:

$5(a+b+c)+\frac{3}{abc}\geq 6\sqrt[6]{\frac{3(a+b+c)^{5}}{abc}}$

Ta có:

$3abc(a+b+c)=abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{1}{3}.\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca)^{3}}{27}=\frac{(a+b+c)^{6}}{81}$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^{5}\geq 243abc$

Khi đó ta có:

$5(a+b+c)+\frac{3}{abc}\geq 6\sqrt[6]{\frac{3.243abc}{abc}}=18$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Dòng thứ 4 từ trên xuống sai rồi bạn ơi!

[NTA1907]

Dòng thứ 4 từ trên xuống sai rồi bạn ơi!

Bạn nói đoạn nào trích dẫn xem...Mình thấy nó ổn cả

[Nguyenhuyen_AG]

Mấu chốt của bài toán này là bất đẳng thức

\[(a+b+c)^5 \geqslant 81abc(a^2+b^2+c^2).\]

Ta có phân tích

\[{\left( {\sum a } \right)^5} - 81abc\sum {{a^2}}  = \frac{1}{2}\sum {\left( {a + b + 13c} \right){{\left( {a-b} \right)}^4}}  + \frac{3}{2}\sum a \sum {{{\left( {ab + bc - 2ca} \right)}^2}}.\]

[Phung Quang Minh]

Bạn nói đoạn nào trích dẫn xem...Mình thấy nó ổn cả

Đoạn cuối là phải =< 9 chứ không phải là 1/3!!

[NTA1907]

Đoạn cuối là phải =< 9 chứ không phải là 1/3!!

Đó là áp dụng AM-GM cho 3 số mà bạn

$\frac{1}{3}.(ab+bc+ca).(ab+bc+ca).(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{1}{3}.\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca)^{3}}{27}$

[Phung Quang Minh]

Đó là áp dụng AM-GM cho 3 số mà bạn

$\frac{1}{3}.(ab+bc+ca).(ab+bc+ca).(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{1}{3}.\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca)^{3}}{27}$

à ko mình nhầm! Sorry bạn nhiều!

[leanh9adst]

Bài này có thể dùng đổi biến p,q,r và bđt schur