Chủ đề này có 1 trả lời

[fifa]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\frac{2y+z-2x}{x^2+x}+\frac{2z+x-2y}{y^2+y}+\frac{2x+y-2z}{z^2+z}$

[tungteng532000]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\frac{2y+z-2x}{x^2+x}+\frac{2z+x-2y}{y^2+y}+\frac{2x+y-2z}{z^2+z}$

Lời giải

Ta có: $\frac{2y+z-2x}{x^2+x}=\frac{y+1-3x}{x(x+1)}=\frac{y+1}{x(x+1)}-\frac{3}{x+1}=\frac{y+1}{x}-\frac{y+1}{x+1}-\frac{3}{x+1}=\frac{y+1}{x}-\frac{y}{x+1}-\frac{4}{x+1}$
Áp dụng bđt C-S, ta được:
$\frac{1}{x}+\frac{9}{1}\geq \frac{16}{x+1}$
Do đó $\frac{2y+z-2x}{x^2+x}\geq \frac{y+1}{x}-\frac{y}{16}.(\frac{1}{x}+9)-\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+9)=\frac{15y}{16x}+\frac{3}{4x}-\frac{9y}{16}-\frac{9}{4}$
C/m tương tự, ta được:
$P\geq \frac{15}{16}(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z})+\frac{3}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{9}{16}(x+y+z)-\frac{27}{4}\geq \frac{45}{16}+\frac{27}{4}-\frac{9}{16}-\frac{27}{4}=\frac{9}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$