Chủ đề này có 3 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

Tìm hai dãy số dương $(x_n)$ và $(y_n)$

 

$\left\{\begin{matrix} x_1=y_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}} & & & \\ x_{n+1}=\dfrac{x_n}{4y_{n+1}^2-1} & & & \\ y_{n+1}=\dfrac{y_n}{1-4x_{n+1}^2} & & & \end{matrix}\right.$

 

 

 

 

 

[Baoriven]

Để ý rằng: $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1$. Ta thử chứng minh: $x_{n}^{2}+y_{n}^{2}=1$.

*) Với $n=1$ ta thấy đúng.

*) Giả sử đúng với $n=k$, ta chứng minh: đúng với $n=k+1$.

Ta có: $x_{k}^{2}+y_{k}^{2}=1\Leftrightarrow (x_{k+1}^{2}+y_{k+1}^{2}-1)(16x_{k+1}^{2}y_{k+1}^{2}+1)=0\Leftrightarrow x_{k+1}^{2}+y_{k+1}^{2}=1$ (đpcm).

Đặt: $x_{n}=sin\alpha _{n}\Rightarrow y_{n}=cos\alpha _{n},(0< \alpha < \frac{\pi }{2})$

$\Rightarrow sin\alpha _{n}=3sin\alpha _{n+1}-4sin^3\alpha _{n+1}=sin3\alpha _{n+1}$

Suy ra: $\alpha _{n+1}=\frac{\alpha _{n}}{3}$. Khi đó ta có:

$\left\{\begin{matrix}x_{1}=sin\frac{\pi }{4},x_{2}=sin\frac{\pi }{12},... \\ y_{1}=cos\frac{\pi }{4},x_{2}=cos\frac{\pi }{12},... \end{matrix}\right.$

Chứng minh bằng quy nạp ta có: $\left\{\begin{matrix}x_{n}=sin\frac{\pi }{4.3^{n-1}} \\ y_{n}=cos\frac{\pi }{4.3^{n-1}} \end{matrix}\right.\forall n\epsilon \mathbb{N},n> 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 06-07-2016 - 20:57

[Dinh Xuan Hung]

Để ý rằng: $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1$. Ta thử chứng minh: $x_{n}^{2}+y_{n}^{2}=1$.

*) Với $n=1$ ta thấy đúng.

*) Giả sử đúng với $n=k$, ta chứng minh: đúng với $n=k+1$.

Ta có: $x_{k}^{2}+y_{k}^{2}=1\Leftrightarrow (x_{k+1}^{2}+y_{k+1}^{2})(16x_{k+1}^{2}y_{k+1}^{2}+1)=0\Leftrightarrow x_{k+1}^{2}+y_{k+1}^{2}=1$ (đpcm).

Đặt: $x_{n}=sin\alpha _{n}\Rightarrow y_{n}=cos\alpha _{n},(0< \alpha < \frac{\pi }{2})$

$\Rightarrow sin\alpha _{n}=3sin\alpha _{n+1}-4sin^3\alpha _{n+1}=sin3\alpha _{n+1}$

Suy ra: $\alpha _{n+1}=\frac{\alpha _{n}}{3}$. Khi đó ta có:

$\left\{\begin{matrix}x_{1}=sin\frac{\pi }{4},x_{2}=sin\frac{\pi }{12},... \\ y_{1}=cos\frac{\pi }{4},x_{2}=cos\frac{\pi }{12},... \end{matrix}\right.$

Chứng minh bằng quy nạp ta có: $\left\{\begin{matrix}x_{n}=sin\frac{\pi }{4.3^{n-1}} \\ y_{n}=cos\frac{\pi }{4.3^{n-1}} \end{matrix}\right.\forall n\epsilon \mathbb{N},n> 0$

 

Đoạn màu đỏ bạn làm rõ hơn một chút được không ?

[Baoriven]

Ta có: $x_{k}^{2}+y_{k}^{2}=1\Leftrightarrow [x_{k+1}(4y_{k+1}^{2}-1)]^2+[y_{k+1}(4x_{k+1}^{2}-1)]^2=1$.

Rồi tách để được nhân tử $(x_{k+1}^{2}+y_{k+1}^{2}-1)$ do đang cần chứng minh đẳng thức này.