Tìm hai dãy số dương $(x_n)$ và $(y_n)$
Tìm hai dãy số dương $(x_n)$ và $(y_n)$
Để ý rằng: $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1$. Ta thử chứng minh: $x_{n}^{2}+y_{n}^{2}=1$.
*) Với $n=1$ ta thấy đúng.
*) Giả sử đúng với $n=k$, ta chứng minh: đúng với $n=k+1$.
Ta có: $x_{k}^{2}+y_{k}^{2}=1\Leftrightarrow (x_{k+1}^{2}+y_{k+1}^{2}-1)(16x_{k+1}^{2}y_{k+1}^{2}+1)=0\Leftrightarrow x_{k+1}^{2}+y_{k+1}^{2}=1$ (đpcm).
Đặt: $x_{n}=sin\alpha _{n}\Rightarrow y_{n}=cos\alpha _{n},(0< \alpha < \frac{\pi }{2})$
$\Rightarrow sin\alpha _{n}=3sin\alpha _{n+1}-4sin^3\alpha _{n+1}=sin3\alpha _{n+1}$
Suy ra: $\alpha _{n+1}=\frac{\alpha _{n}}{3}$. Khi đó ta có:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}=sin\frac{\pi }{4},x_{2}=sin\frac{\pi }{12},... \\ y_{1}=cos\frac{\pi }{4},x_{2}=cos\frac{\pi }{12},... \end{matrix}\right.$
Chứng minh bằng quy nạp ta có: $\left\{\begin{matrix}x_{n}=sin\frac{\pi }{4.3^{n-1}} \\ y_{n}=cos\frac{\pi }{4.3^{n-1}} \end{matrix}\right.\forall n\epsilon \mathbb{N},n> 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 06-07-2016 - 20:57
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Để ý rằng: $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1$. Ta thử chứng minh: $x_{n}^{2}+y_{n}^{2}=1$.
*) Với $n=1$ ta thấy đúng.
*) Giả sử đúng với $n=k$, ta chứng minh: đúng với $n=k+1$.
Ta có: $x_{k}^{2}+y_{k}^{2}=1\Leftrightarrow (x_{k+1}^{2}+y_{k+1}^{2})(16x_{k+1}^{2}y_{k+1}^{2}+1)=0\Leftrightarrow x_{k+1}^{2}+y_{k+1}^{2}=1$ (đpcm).
Đặt: $x_{n}=sin\alpha _{n}\Rightarrow y_{n}=cos\alpha _{n},(0< \alpha < \frac{\pi }{2})$
$\Rightarrow sin\alpha _{n}=3sin\alpha _{n+1}-4sin^3\alpha _{n+1}=sin3\alpha _{n+1}$
Suy ra: $\alpha _{n+1}=\frac{\alpha _{n}}{3}$. Khi đó ta có:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}=sin\frac{\pi }{4},x_{2}=sin\frac{\pi }{12},... \\ y_{1}=cos\frac{\pi }{4},x_{2}=cos\frac{\pi }{12},... \end{matrix}\right.$
Chứng minh bằng quy nạp ta có: $\left\{\begin{matrix}x_{n}=sin\frac{\pi }{4.3^{n-1}} \\ y_{n}=cos\frac{\pi }{4.3^{n-1}} \end{matrix}\right.\forall n\epsilon \mathbb{N},n> 0$
Đoạn màu đỏ bạn làm rõ hơn một chút được không ?
Ta có: $x_{k}^{2}+y_{k}^{2}=1\Leftrightarrow [x_{k+1}(4y_{k+1}^{2}-1)]^2+[y_{k+1}(4x_{k+1}^{2}-1)]^2=1$.
Rồi tách để được nhân tử $(x_{k+1}^{2}+y_{k+1}^{2}-1)$ do đang cần chứng minh đẳng thức này.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh