Lấy 1 bài hiện unsolve trên AOPS, và MARATHON BĐT
cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
$\frac{a^{2}+3b^{2}}{a+3b}+\frac{b^{2}+3c}{b+3c}+\frac{c^{2}+3a^{2}}{c+3a}\geq 3$
Ta có:$\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b}\ge^{Cauchy-Schwarz} \frac{(\sqrt{a^2+3b^2})^2}{4(a+b+c)}\rightarrow A$.
Ta đi Cm: $A\ge 3\iff \sum \sqrt{a^2+3b^2}\ge \sqrt{12(a+b+c)}$.
Thật vậy: Ta có: $\sqrt{a^2+3b^2}\ge \frac{a}{2}+\frac{3b}{2}\iff (a-b)^2\ge 0$.
$\implies \sum \sqrt{a^2+3b^2}\ge 2(a+b+c)\ge \sqrt{12(a+b+c)}\implies Q.E.D$.
Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 06-07-2016 - 22:36