Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{a^{2}+3b^{2}}{a+3b}+\frac{b^{2}+3c}{b+3c}+\frac{c^{2}+3a^{2}}{c+3a}\geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 06-07-2016 - 20:35

Lấy 1 bài hiện unsolve trên AOPS, và MARATHON BĐT

cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{a^{2}+3b^{2}}{a+3b}+\frac{b^{2}+3c^{2}}{b+3c}+\frac{c^{2}+3a^{2}}{c+3a}\geq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 07-07-2016 - 23:02


#2 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-07-2016 - 22:04

Lấy 1 bài hiện unsolve trên AOPS, và MARATHON BĐT

cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{a^{2}+3b^{2}}{a+3b}+\frac{b^{2}+3c}{b+3c}+\frac{c^{2}+3a^{2}}{c+3a}\geq 3$

 

Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng

\[\sqrt{a^2+3b^2} + \sqrt{b^2+3c^2} + \sqrt{c^2+3a^2} \geqslant \sqrt{12(a+b+c)}.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#3 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1758 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=2Hw2catzrtU}{Đây}$

Đã gửi 06-07-2016 - 22:34

Lấy 1 bài hiện unsolve trên AOPS, và MARATHON BĐT

cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{a^{2}+3b^{2}}{a+3b}+\frac{b^{2}+3c}{b+3c}+\frac{c^{2}+3a^{2}}{c+3a}\geq 3$

Ta có:$\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b}\ge^{Cauchy-Schwarz} \frac{(\sqrt{a^2+3b^2})^2}{4(a+b+c)}\rightarrow A$.

Ta đi Cm:  $A\ge 3\iff \sum \sqrt{a^2+3b^2}\ge \sqrt{12(a+b+c)}$.

Thật vậy: Ta có: $\sqrt{a^2+3b^2}\ge \frac{a}{2}+\frac{3b}{2}\iff (a-b)^2\ge 0$.

$\implies \sum \sqrt{a^2+3b^2}\ge 2(a+b+c)\ge \sqrt{12(a+b+c)}\implies Q.E.D$.

Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 06-07-2016 - 22:36

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#4 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 06-07-2016 - 22:51

Ta có:$\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b}\ge^{Cauchy-Schwarz} \frac{(\sqrt{a^2+3b^2})^2}{4(a+b+c)}\rightarrow A$.

Ta đi Cm:  $A\ge 3\iff \sum \sqrt{a^2+3b^2}\ge \sqrt{12(a+b+c)}$.

Thật vậy: Ta có: $\sqrt{a^2+3b^2}\ge \frac{a}{2}+\frac{3b}{2}\iff (a-b)^2\ge 0$.

$\implies \sum \sqrt{a^2+3b^2}\ge 2(a+b+c)\ge \sqrt{12(a+b+c)}\implies Q.E.D$.

Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$

sai rồi bạn vì $\sum a^{2}= 3\Rightarrow \sqrt{\sum a} \leq \sqrt{3}$ $\Rightarrow$$2\sqrt{\sum a}-\sqrt{12} \leq 0$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 06-07-2016 - 23:03





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh