Chủ đề này có 5 trả lời

[nilll gate]

Cho a,b,c dương . abc=8 . Chứng minh : $\frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}} + \frac{b^{2}}{\sqrt{(1+b^{3})(1+c^{3})}} + \frac{c^{2}}{\sqrt{(1+c^{3})(1+a^{3})}} \geq \frac{4}{3}$

p/s : Bài này m nhớ là đã xuất hiện trên VMF nhưng mà không biết tìm như thế nào

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 07-07-2016 - 11:17

[Senju Hashirama]

APMO 2005  , 

[chinh tuy binh quyen]

APMO 2005 ,

bạn nêu link ra đi

[nilll gate]

Làm hộ m v b ơi

 

APMO 2005  , 

[lehakhiem212]

http://goo.gl/mb5aAa . ai dịch giúp đi, bài 2 ý.

[la oi dung bay]

Với mọi $x\geq 0$ ta luôn có $4(1+x^{3})\leq (x^{2}+2)^{2}$$\Leftrightarrow x^{2}(x-2)^{2}\geq 0$

Khi đó ta có:

$\frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{(1+b^{3})(1+c^{3})}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{(1+c^{3})(1+a^{3})}}\geq \frac{4a^{2}}{(2+a^{2})(2+b^{2})}+\frac{4b^{2}}{(2+b^{2})(2+c^[2])}+\frac{4c^{2}}{(2+c^{2})(2+a^{2})}$

Bằng cách đặt $x=\frac{a^{2}}{4},y=\frac{b^{2}}{4},z=\frac{c^{2}}{4}$ khi đó ta có xyz=1.

Ta cần phải chứng minh:

$\frac{x}{(1+2x)(1+2y)}+\frac{y}{(1+2y)(1+2z)}+\frac{z}{(1+2z)(1+2x)}\geq \frac{1}{3}$

Đến đây thì quy đồng mẫu số,khi đó bất đẳng thức trên tương đương với

$2(xy+yz+zx)+x+y+z\geq 9$

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM kết hợp với điều kiện xyz=1 ta có điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=2