CMR: $3^{2^{4n+1}}+2\vdots 11$ $\forall n\in \mathbb{N}$
Chứng minh chia hết cho 11
#1
Đã gửi 07-07-2016 - 17:18
#2
Đã gửi 07-07-2016 - 18:38
Ta có: $3^{2^{4n+1}}+2$ = $3^{2^{4n+1}}-3^{2}+11$.
Lại có: $3^{2^{4n+1}}-3^{2}= 3^{2}(3^{2^{4n+1}-2}-1)$ = $3^{2}(3^{2(2^{4n}-1)}-1)$
Áp dụng định lý Fecmat nhỏ cho ta $3^{10}\equiv 1(mod11)$, (1)
Đến đây, dễ thấy $2^{4n}-1\vdots 2$ và $2^{4n}-1=(2^{4})^{n}-1\vdots 5$
mà $(2,5)=1$ nên $2^{4n}-1\vdots 10$ (2)
Từ (1) và (2) ta có ngay $3^{2(2^{4n}-1)}-1\vdots 3^{10}-1\vdots 11$
Vậy $3^{2^{4n+1}}+2\vdots 11$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alpha LogaE: 07-07-2016 - 18:41
#3
Đã gửi 07-07-2016 - 18:49
Ta cần chứng minh: $3^{2^{4n+1}}\equiv 9\equiv 3^2(mod11)$.
Để ý thấy rằng: $3^5\equiv 1(mod11)$.
Ta chỉ cần chứng minh: $2^{4n+1}\equiv 2(mod5)$
Thật vậy: $2^{4n}\equiv 16^n\equiv 1^n\equiv 1(mod5)$.
Nên suy ra: $2^{4n+1}\equiv 2^{4n}.2\equiv 1.2\equiv 2(mod5)$.
Vậy ta có đpcm.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh