Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh chia hết cho 11


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
namathno7

namathno7

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

CMR: $3^{2^{4n+1}}+2\vdots 11$      $\forall n\in \mathbb{N}$



#2
Alpha LogaE

Alpha LogaE

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Ta có: $3^{2^{4n+1}}+2$ = $3^{2^{4n+1}}-3^{2}+11$. 

Lại có: $3^{2^{4n+1}}-3^{2}= 3^{2}(3^{2^{4n+1}-2}-1)$ = $3^{2}(3^{2(2^{4n}-1)}-1)$

Áp dụng định lý Fecmat nhỏ cho ta $3^{10}\equiv 1(mod11)$,        (1)

Đến đây, dễ thấy $2^{4n}-1\vdots 2$ và $2^{4n}-1=(2^{4})^{n}-1\vdots 5$

mà $(2,5)=1$ nên $2^{4n}-1\vdots 10$                                            (2)

Từ (1) và (2) ta có ngay $3^{2(2^{4n}-1)}-1\vdots 3^{10}-1\vdots 11$

Vậy $3^{2^{4n+1}}+2\vdots 11$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alpha LogaE: 07-07-2016 - 18:41


#3
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Ta cần chứng minh: $3^{2^{4n+1}}\equiv 9\equiv 3^2(mod11)$.

Để ý thấy rằng: $3^5\equiv 1(mod11)$.

Ta chỉ cần chứng minh: $2^{4n+1}\equiv 2(mod5)$

Thật vậy: $2^{4n}\equiv 16^n\equiv 1^n\equiv 1(mod5)$.

Nên suy ra: $2^{4n+1}\equiv 2^{4n}.2\equiv 1.2\equiv 2(mod5)$.

Vậy ta có đpcm.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh