Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$, chứng minh $\sum \frac{a}{\sqrt{b^2+c^2+7}}\geq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
chanlerscofield

chanlerscofield

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$, chứng minh $\frac{a}{\sqrt{b^2+c^2+7}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+a^2+7}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7}}\geq 1$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanlerscofield: 07-07-2016 - 20:35


#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Đặt: $S=a(b^2+c^2+7)+b(c^2+a^2+7)+c(a^2+b^2+7)$ và P là biểu thức VT.

Sử dụng BĐT Holder ta có: $PPS\geq (a+b+c)^3$.

Vậy ta chứng minh: $(a+b+c)^3\geq S$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 7(a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 7(a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3$ (luôn đúng).

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#3
chanlerscofield

chanlerscofield

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

Đặt: $S=a(b^2+c^2+7)+b(c^2+a^2+7)+c(a^2+b^2+7)$ và P là biểu thức VT.

Sử dụng BĐT Holder ta có: $PPS\geq (a+b+c)^3$.

Vậy ta chứng minh: $(a+b+c)^3\geq S$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 7(a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 7(a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3$ (luôn đúng).

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.

bạn chứng minh giúp mình với mình không biết






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh