Chủ đề này có 5 trả lời

[misakichan]

Tìm 5 số nguyên dương P nhỏ nhất sao cho $P^{2}-1$ là tích của 3 số nguyên tố phân biệt 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi misakichan: 08-07-2016 - 21:10

[Namthemaster1234]

Tìm 5 số nguyên dương P nhỏ nhất sao cho $P^{2}-1$ là tích của 3 số nguyên tố phân biệt 

Thử tùm lum

 

Dễ thấy $p$ chẵn. Vì nếu lẻ thì $4 \mid p^2-1=xyz$. Tồn tại 2 số nguyên tố bằng nhau và bằng 2. Vô lý

 

Do $(p-1,p+1)=1$ và $x,y,z$ bình đẳng nên xét các TH:

 

Giả sử $p$ không chia hết cho $3$. Khi đó tồn tại trong 3 số $x,y,z$ một số bằng 3.

 

TH1:  $p-1=x$ và $p+1=yz$

 

Nếu $x=3$ thì $p=4$ không thỏa mãn nên không mất tính tq giả sử $z=3$

 

Khi đó $x+2=3y$. Đến đây do $y \geq 5$ nên thử lần lượt các giá trị của $y$ thì thấy các bộ sau thỏa mãn:

 

$(x,y,z,p)=(13,5,3,14), (19,7,3,20), (37,13,3,38), (67,23,3,68), (109,37,3,110)$

 

TH2: $p-1=yz$ và $p+1=x$

 

Dễ thấy $x$ khác 3. Lại không mất tính tổng quát giả sử $z=3$. Khi đó: $x=3y+2$

 

Do $y \geq 5$ nên thử lần lượt các giá trị của $y$ thì thấy các bộ sau thỏa mãn:

 

$(x,y,z,p)=(17,5,3,16), (23,7,3,22), (41,13,3,40), (53,17,3,52), (59,19,3,58)$

 

Tổng kết: 5 số $p$ nhỏ nhất là $14,16,20,22,38$

 

Rồi giờ xét trường hợp $3 \mid p$. Khi đó $6 \mid p$ nên $p=6k$

 

Thử lần lượt các giả trị của $k$ bắt đầu từ $1$ thì thấy $k=6$ và $k=9$ thỏa mãn.

 

Khi đó $p=36$ hoặc $p=54$. Mà do $36 < 38 <54 $ nên ta chọn $p=36$.

 

Vậy 5 số $p$ nhỏ nhất thỏa mãn là $14,16,20,22,36$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 09-07-2016 - 10:04

[misakichan]

Thử tùm lum

 

Dễ thấy $p$ chẵn. Vì nếu lẻ thì $4 \mid p^2-1=xyz$. Tồn tại 2 số nguyên tố bằng nhau và bằng 2. Vô lý

 

Do $(p-1,p+1)=1$ và $x,y,z$ bình đẳng nên xét các TH:

 

Giả sử $p$ không chia hết cho $3$. Khi đó tồn tại trong 3 số $x,y,z$ một số bằng 3.

 

TH1:  $p-1=x$ và $p+1=yz$

 

Nếu $x=3$ thì $p=4$ không thỏa mãn nên không mất tính tq giả sử $z=3$

 

Khi đó $x+2=3y$. Đến đây do $y \geq 5$ nên thử lần lượt các giá trị của $y$ thì thấy các bộ sau thỏa mãn:

 

Thử lần lượt các giá trị của y là những giá trị nào?

[Namthemaster1234]

Thử lần lượt các giá trị của y là những giá trị nào?

 $y \geq 5$ nên cứ thử $y=5,7,11,13,17,19$. Đủ 5 TH thỏa mãn thì dừng

[misakichan]

 $y \geq 5$ nên cứ thử $y=5,7,11,13,17,19$. Đủ 5 TH thỏa mãn thì dừng

đúng là thử tùm lum

[misakichan]

Thử tùm lum

 

Dễ thấy $p$ chẵn. Vì nếu lẻ thì $4 \mid p^2-1=xyz$. Tồn tại 2 số nguyên tố bằng nhau và bằng 2. Vô lý

 

Do $(p-1,p+1)=1$ và $x,y,z$ bình đẳng nên xét các TH:

 

Giả sử $p$ không chia hết cho $3$. Khi đó tồn tại trong 3 số $x,y,z$ một số bằng 3.

 

TH1:  $p-1=x$ và $p+1=yz$

 

Nếu $x=3$ thì $p=4$ không thỏa mãn nên không mất tính tq giả sử $z=3$

 

Khi đó $x+2=3y$. Đến đây do $y \geq 5$ nên thử lần lượt các giá trị của $y$ thì thấy các bộ sau thỏa mãn:

 

$(x,y,z,p)=(13,5,3,14), (19,7,3,20), (37,13,3,38), (67,23,3,68), (109,37,3,110)$

 

TH2: $p-1=yz$ và $p+1=x$

 

Dễ thấy $x$ khác 3. Lại không mất tính tổng quát giả sử $z=3$. Khi đó: $x=3y+2$

 

Do $y \geq 5$ nên thử lần lượt các giá trị của $y$ thì thấy các bộ sau thỏa mãn:

 

$(x,y,z,p)=(17,5,3,16), (23,7,3,22), (41,13,3,40), (53,17,3,52), (59,19,3,58)$

 

Tổng kết: 5 số $p$ nhỏ nhất là $14,16,20,22,38$

 

Rồi giờ xét trường hợp $3 \mid p$. Khi đó $6 \mid p$ nên $p=6k$

 

Thử lần lượt các giả trị của $k$ bắt đầu từ $1$ thì thấy $k=6$ và $k=9$ thỏa mãn.

 

Khi đó $p=36$ hoặc $p=54$. Mà do $36 < 38 <54 $ nên ta chọn $p=36$.

 

Vậy 5 số $p$ nhỏ nhất thỏa mãn là $14,16,20,22,36$

mình thấy trong th1 y=11 cũng tman mà