Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}\geq \frac{3}{4(1+abc)}$
Chứng minh rằng $\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}\geq \frac{3}{4(1+abc)}$
Bắt đầu bởi chanlerscofield, 09-07-2016 - 21:17
#2
Đã gửi 09-07-2016 - 21:24
Baoriven
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 1423 Bài viết
Thượng úy
Sử dụng Holder ta có:
$(1+abc)(1+\frac{a}{b})(1+\frac{a}{c})\geq (1+a)^3\Rightarrow \frac{1+abc}{(1+a)^3}\geq \frac{bc}{(a+b)(a+c)}$.
Tương tự, ta cần chứng minh:
$\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(c+a)(c+b)}\geq \frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\geq 6abc.$
BĐT cuối đúng khi sử dung Cauchy cho 6 số.
Vậy ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$.
- Thislife và chanlerscofield thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
