Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $x,y$ nguyên dương để $x^2y^4-y^3+1$ là số chính phương

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết

Tìm $x,y$ nguyên dương để $x^2y^4-y^3+1$ là số chính phương


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#2
the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Tìm $x,y$ nguyên dương để $x^2y^4-y^3+1$ là số chính phương

Đặt $S=x^2y^4-y^3+1$.

Trước hết với trường hợp $y=1$ thì $S=x^2$ là số chính phương với $x$ tùy ý. Do đó cặp số $(x,y)$ thỏa là $(k,1)$ với $k$ là số nguyên dương tùy ý.

Xét $y\geq 2$. Khi đó ta cần có bổ đề sau:

Bổ đề: Với $k$ là số nguyên dương, $k\geq 2$ thì khi đó, nếu $a,b$ là các số nguyên dương thỏa:

$\left\{\begin{matrix} ab=k^3-1\\ k^2\mid a+b\\ \end{matrix}\right.$

thì $(a,b)$ là một hoán vị của $(k^3-1;1)$.

Chứng minh

Trở lại bài toán: Đặt $S=t^2$ suy ra $(xy^2-t)(xy^2+t)=y^3-1$. Nếu đặt $a=xy^2-t$ và $b=xy^2+t$ thì $ab=y^3-1$ và $ y^2\mid a+b$ nên theo bổ đề ta có được $xy^2+t=y^3-1$ và $xy^2-t=1$. Suy ra $2xy^2=y^3\Rightarrow 2x=y$. Suy ra phương trình có nghiệm là $(k,2k)$ với $k$ là số nguyên dương tùy ý, thử lại thấy thỏa.

Kết luận: Phương trình có các nghiệm nguyên là $(k;1)$ và $(k;2k)$ với $k$ nguyên dương tùy ý.


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh