Tìm $x,y$ nguyên dương để $x^2y^4-y^3+1$ là số chính phương
Tìm $x,y$ nguyên dương để $x^2y^4-y^3+1$ là số chính phương
#1
Đã gửi 10-07-2016 - 09:19
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
#2
Đã gửi 10-07-2016 - 21:01
Tìm $x,y$ nguyên dương để $x^2y^4-y^3+1$ là số chính phương
Đặt $S=x^2y^4-y^3+1$.
Trước hết với trường hợp $y=1$ thì $S=x^2$ là số chính phương với $x$ tùy ý. Do đó cặp số $(x,y)$ thỏa là $(k,1)$ với $k$ là số nguyên dương tùy ý.
Xét $y\geq 2$. Khi đó ta cần có bổ đề sau:
Bổ đề: Với $k$ là số nguyên dương, $k\geq 2$ thì khi đó, nếu $a,b$ là các số nguyên dương thỏa:
$\left\{\begin{matrix} ab=k^3-1\\ k^2\mid a+b\\ \end{matrix}\right.$
thì $(a,b)$ là một hoán vị của $(k^3-1;1)$.
Trở lại bài toán: Đặt $S=t^2$ suy ra $(xy^2-t)(xy^2+t)=y^3-1$. Nếu đặt $a=xy^2-t$ và $b=xy^2+t$ thì $ab=y^3-1$ và $ y^2\mid a+b$ nên theo bổ đề ta có được $xy^2+t=y^3-1$ và $xy^2-t=1$. Suy ra $2xy^2=y^3\Rightarrow 2x=y$. Suy ra phương trình có nghiệm là $(k,2k)$ với $k$ là số nguyên dương tùy ý, thử lại thấy thỏa.
Kết luận: Phương trình có các nghiệm nguyên là $(k;1)$ và $(k;2k)$ với $k$ nguyên dương tùy ý.
- Namthemaster1234 và I Love MC thích
$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh