Chủ đề này có 1 trả lời

[dungxibo123]

Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=1$
chứng minh $\sqrt{\frac{xy}{xy+z}} + \sqrt{\frac{yz}{yz+x}} +\sqrt{\frac{zx}{zx+y}} \leq \frac{3}{2}$

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=1$
chứng minh $\sqrt{\frac{xy}{xy+z}} + \sqrt{\frac{yz}{yz+x}} +\sqrt{\frac{zx}{zx+y}} \leq \frac{3}{2}$

Để ý rằng với $x+y+z=1$, ta có:
$$xy+z=xy+z(x+y+z)=xy+yz+z^{2}+zx=(z+x)(z+y)$$

Tương tự, ta cũng có:
$$yz+x=(x+y)(x+z) \; \; \; \; \; \; \; \; \; zx+y=(y+z)(y+x)$$

Do đó, theo bất đẳng thức AM-GM:

$$VT(\text{BDT})=\sqrt{\dfrac{x}{x+z}.\dfrac{y}{z+y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+y}.\dfrac{z}{x+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{y+z}.\dfrac{x}{y+x}} \leq \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{z+y}+\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{z}{y+z}+\dfrac{x}{y+x} \right)=\dfrac{3}{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$.$\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 10-07-2016 - 15:16