Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=1$
chứng minh $\sqrt{\frac{xy}{xy+z}} + \sqrt{\frac{yz}{yz+x}} +\sqrt{\frac{zx}{zx+y}} \leq \frac{3}{2}$
$\sqrt{\frac{xy}{xy+z}} + \sqrt{\frac{yz}{yz+x}} +\sqrt{\frac{zx}{zx+y}} \leq \frac{3}{2}$
#1
Đã gửi 10-07-2016 - 14:36
- nguyenhongsonk612 yêu thích
myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại
NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững
KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước
Võ Tiến Dũng
#2
Đã gửi 10-07-2016 - 15:14
Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=1$
chứng minh $\sqrt{\frac{xy}{xy+z}} + \sqrt{\frac{yz}{yz+x}} +\sqrt{\frac{zx}{zx+y}} \leq \frac{3}{2}$
Để ý rằng với $x+y+z=1$, ta có:
$$xy+z=xy+z(x+y+z)=xy+yz+z^{2}+zx=(z+x)(z+y)$$
Tương tự, ta cũng có:
$$yz+x=(x+y)(x+z) \; \; \; \; \; \; \; \; \; zx+y=(y+z)(y+x)$$
Do đó, theo bất đẳng thức AM-GM:
$$VT(\text{BDT})=\sqrt{\dfrac{x}{x+z}.\dfrac{y}{z+y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+y}.\dfrac{z}{x+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{y+z}.\dfrac{x}{y+x}} \leq \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{z+y}+\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{z}{y+z}+\dfrac{x}{y+x} \right)=\dfrac{3}{2}$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$.$\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 10-07-2016 - 15:16
- dungxibo123 yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh