Chủ đề này có 3 trả lời

[lovemath99]

Tính nguyên hàm:

$$\int{\dfrac{dx}{x^2-7x-11}}$$

$$\int{\dfrac{dx}{x^2-3x+7}}$$ $(mau-vo-nghiem)$ 

Tổng quát: Tính nguyên hàm:

$$\int{\dfrac{dx}{x^2+px+q}}$$

$$\int{\dfrac{(ax+b)dx}{x^2+px+q}}$$

 

 

[chanhquocnghiem]

Tính nguyên hàm:

$$\int{\dfrac{dx}{x^2-7x-11}}$$

$$\int{\dfrac{dx}{x^2-3x+7}}$$ $(mau-vo-nghiem)$ 

Tổng quát: Tính nguyên hàm:

$$\int{\dfrac{dx}{x^2+px+q}}$$

$$\int{\dfrac{(ax+b)dx}{x^2+px+q}}$$

Ta chỉ cần xét trường hợp tổng quát $I=\int \frac{(ax+b)dx}{x^2+px+q}$ trong đó mẫu vô nghiệm ($p^2-4q< 0$)

$I=\int \frac{(ax+b)dx}{x^2+px+q}=\int \frac{\frac{a}{2}(2x+p)+b-\frac{ap}{2}}{x^2+px+q}\ dx$

$=\frac{a}{2}\int \frac{d(x^2+px+q)}{x^2+px+q}+\left ( b-\frac{ap}{2} \right )\int \frac{d\left ( x+\frac{p}{2} \right )}{\left ( x+\frac{p}{2} \right )^2+\left ( q-\frac{p^2}{4} \right )}$

Vì $p^2-4q< 0$ nên $q-\frac{p^2}{4}=\frac{4q-p^2}{4}> 0$

$\Rightarrow I=\frac{a}{2} \ln(x^2+px+q)+\frac{2b-ap}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C$

[lovemath99]

Ta chỉ cần xét trường hợp tổng quát $I=\int \frac{(ax+b)dx}{x^2+px+q}$ trong đó mẫu vô nghiệm ($p^2-4q< 0$)

$I=\int \frac{(ax+b)dx}{x^2+px+q}=\int \frac{\frac{a}{2}(2x+p)+b-\frac{ap}{2}}{x^2+px+q}\ dx$

$=\frac{a}{2}\int \frac{d(x^2+px+q)}{x^2+px+q}+\left ( b-\frac{ap}{2} \right )\int \frac{d\left ( x+\frac{p}{2} \right )}{\left ( x+\frac{p}{2} \right )^2+\left ( q-\frac{p^2}{4} \right )}$

Vì $p^2-4q< 0$ nên $q-\frac{p^2}{4}=\frac{4q-p^2}{4}> 0$

$\Rightarrow I=\frac{a}{2} \ln(x^2+px+q)+\frac{2b-ap}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C$

Còn với bài cho mẫu có nghiệm thì giải quyết sao anh

[chanhquocnghiem]

Còn với bài cho mẫu có nghiệm thì giải quyết sao anh

A- Nếu là 2 nghiệm phân biệt ($c$ và $d$)

$\frac{ax+b}{x^2+px+q}=\frac{ax+b}{(x-c)(x-d)}=\frac{A}{x-c}+\frac{B}{x-d}$

với $A=\frac{b+ac}{c-d}$ và $B=-\frac{b+ad}{c-d}$

$\Rightarrow I=\frac{b+ac}{c-d}\ln\left | x-c \right |-\frac{b+ad}{c-d}\ln\left | x-d \right |+C$

 

B- Nếu là nghiệm kép $m$

$\frac{ax+b}{x^2+px+q}=\frac{ax+b}{(x-m)^2}=\frac{b+am}{(x-m)^2}+\frac{a}{x-m}$

$\Rightarrow I=\frac{b+am}{m-x}+a\ln\left | x-m \right |+C$