Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $2(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1242 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 12-07-2016 - 19:21

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $(a+b+c)abc=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng:

$2(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$


$\mathfrak{LeHoangBao - 4M - CTG1518}$


#2 Senju Hashirama

Senju Hashirama

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality , Functional equations ,
    Polynomial , Naruto

Đã gửi 12-07-2016 - 19:52

Dễ thấy : $3abc\left ( a+b+c \right )\leq \left ( ab+bc+ca \right )^{2}$   $\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$

Ta sẽ chứng minh :  $2\left ( a+b+c \right )\geq \sum \sqrt{(a+b)(a+c)}$

Điều này hiển nhiên theo BĐT $AM-GM$

  $\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \sum \frac{2a+b+c}{2}=2\left ( a+b+c \right )$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$



#3 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1242 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 13-07-2016 - 08:15

Một cách khác dùng Chebyshev.

BĐT đã cho tương đương với: 

$\sum \frac{3(a^2-1)}{2a+\sqrt{a^2+3}}\geq 0$.

Chú ý điều kiện đã cho: $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2-1}{a}\geq 0$.

Nên ta biến đổi BĐT về dạng:

$\sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq 0$.

Không mất tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$, ta có:

$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}} \\ \frac{a^2-1}{a}\geq \frac{b^2-1}{b}\geq \frac{c^2-1}{c} \end{matrix}\right.$.

Sử dụng Chebyshev ta có:

$\sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{a^2-1}{a})(\sum \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}})\geq 0$.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.


$\mathfrak{LeHoangBao - 4M - CTG1518}$


#4 thoai6cthcstqp

thoai6cthcstqp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thpt Thanh Chương 1, Nghệ An
  • Sở thích:Éo có

Đã gửi 13-07-2016 - 12:37

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $(a+b+c)abc=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng:




$2(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$

Cách giải khác theo phương pháp tiếp tuyến:
Ta có: $(a+b+c)abc=ab+bc+ca$ tương đương: $\sum (a-\frac{1}{a})=0$
Ta cần chứng minh: $8a-4\sqrt{a^2+3} \geq 3a-\frac{3}{a}$
Thật vậy, bđt tương đương với:
$\frac{5a^2+3-4a\sqrt{a^2+3}}{a} \geq 0$.
Tương đương: $9(a-1)^2(a+1)^2 \geq 0$
Vậy bài toán đã được giải quyết.
P/s: Like....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thoai6cthcstqp: 13-07-2016 - 12:57

VML <3


#5 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-07-2016 - 13:18

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $(a+b+c)abc=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng:

$2(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$

 

Từ giả thiết ta có

\[a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

\[\sum \sqrt{a^2+3}=\sum \sqrt{a\left ( a+\frac{3}{a} \right )} \leqslant \sqrt{\sum a \sum \left ( a+\frac{3}{a} \right )} = 2(a+b+c).\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#6 toanhoc2017

toanhoc2017

    Trung úy

  • Thành viên
  • 885 Bài viết

Đã gửi 18-02-2020 - 01:20

hay






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh