Cho a,b,c dương thỏa mãn: $(a+b+c)abc=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng:
$2(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$
Cho a,b,c dương thỏa mãn: $(a+b+c)abc=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng:
$2(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Dễ thấy : $3abc\left ( a+b+c \right )\leq \left ( ab+bc+ca \right )^{2}$ $\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$
Ta sẽ chứng minh : $2\left ( a+b+c \right )\geq \sum \sqrt{(a+b)(a+c)}$
Điều này hiển nhiên theo BĐT $AM-GM$
$\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \sum \frac{2a+b+c}{2}=2\left ( a+b+c \right )$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Một cách khác dùng Chebyshev.
BĐT đã cho tương đương với:
$\sum \frac{3(a^2-1)}{2a+\sqrt{a^2+3}}\geq 0$.
Chú ý điều kiện đã cho: $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2-1}{a}\geq 0$.
Nên ta biến đổi BĐT về dạng:
$\sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq 0$.
Không mất tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$, ta có:
$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}} \\ \frac{a^2-1}{a}\geq \frac{b^2-1}{b}\geq \frac{c^2-1}{c} \end{matrix}\right.$.
Sử dụng Chebyshev ta có:
$\sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{a^2-1}{a})(\sum \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}})\geq 0$.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Cách giải khác theo phương pháp tiếp tuyến:Cho a,b,c dương thỏa mãn: $(a+b+c)abc=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng:
$2(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thoai6cthcstqp: 13-07-2016 - 12:57
Cá mỏ nhọn <3
Cho a,b,c dương thỏa mãn: $(a+b+c)abc=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng:
$2(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$
Từ giả thiết ta có
\[a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.\]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
\[\sum \sqrt{a^2+3}=\sum \sqrt{a\left ( a+\frac{3}{a} \right )} \leqslant \sqrt{\sum a \sum \left ( a+\frac{3}{a} \right )} = 2(a+b+c).\]
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh