Chủ đề này có 5 trả lời

[nguyentinh]

1) Cho $a,b,n$ là các số nguyên dương thỏa mãn $gcd\left ( a,b \right )=1$.

Chứng minh $gcd\left ( a-b,\frac{a^{n}-b^{n}}{a-b} \right )=gcd\left ( n,a-b \right )$.

2) Với $a,b,n$ nguyên dương và $n$ lẻ, chứng minh $gcd\left ( a+b,\frac{a^{n}+b^{n}}{a+b} \right )=gcd\left ( n,a+b \right )$.

3)Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $pq\mid \left ( 5^{p}-2^{p} \right )\left ( 5^{q}-2^{q} \right )$.

[Minhnguyenthe333]

3)Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $pq\mid \left ( 5^{p}-2^{p} \right )\left ( 5^{q}-2^{q} \right )$.

Giả sử $p\leqslant q$
Áp dụng định lý Fermat nhỏ: $5^p-2^p\equiv 5-2=3$ $(mod$ $p)$
$=>q\mid 5^p-2^p$ và $p\mid 5^q-2^q$
Giả sử $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $p\mid 5^k-2^k$
Mặt khác theo định lý Fermat nhỏ: $p\mid 5^{p-1}-2^{p-1}$
Suy ra $k\mid q$ và $k\mid p-1$
Nếu $k=1:$ ta có $p\mid 5-2=3$ kéo theo $p=3$
Nếu $k=q:$ Do $k\mid p-1=>k=q\leqslant p-1\leqslant q-1$ (vô lí)
Khi đó $q\mid 5^3-2^3=117=13.3^2$ kéo theo $q=3$ hoặc $q=13$
Vậy $(p,q)=(3,3);(13,3);(3,13)$

[nguyentinh]

Giả sử $p\leqslant q$
Áp dụng định lý Fermat nhỏ: $5^p-2^p\equiv 5-2=3$ $(mod$ $p)$
$=>q\mid 5^p-2^p$ và $p\mid 5^q-2^q$
Giả sử $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $p\mid 5^k-2^k$
Mặt khác theo định lý Fermat nhỏ: $p\mid 5^{p-1}-2^{p-1}$
Suy ra $k\mid q$ và $k\mid p-1$
Nếu $k=1:$ ta có $p\mid 5-2=3$ kéo theo $p=3$
Nếu $k=q:$ Do $k\mid p-1=>k=q\leqslant p-1\leqslant q-1$ (vô lí)
Khi đó $q\mid 5^3-2^3=117=13.3^2$ kéo theo $q=3$ hoặc $q=13$
Vậy $(p,q)=(3,3);(13,3);(3,13)$

Giúp mình mấy câu ƯCLN nữa nhé

[Minhnguyenthe333]

1) Cho $a,b,n$ là các số nguyên dương thỏa mãn $gcd\left ( a,b \right )=1$.
Chứng minh $gcd\left ( a-b,\frac{a^{n}-b^{n}}{a-b} \right )=gcd\left ( n,a-b \right )$.
2) Với $a,b,n$ nguyên dương và $n$ lẻ, chứng minh $gcd\left ( a+b,\frac{a^{n}+b^{n}}{a+b} \right )=gcd\left ( n,a+b \right )$.

1) Gọi $p$ là số nguyên tố bất kì
Ta chỉ cần chứng minh $v_p\left [\gcd\left ( a-b,\frac{a^{n}-b^{n}}{a-b} \right )\right ]=v_p[(gcd\left (n,a-b \right )]$
Thật vậy, ta có: $v_p\left [\gcd\left ( a-b,\frac{a^{n}-b^{n}}{a-b} \right )\right ]=\min \{ v_p(a-b),v_p\left (\frac{a^n-b^n}{a-b}\right )\}$

Nếu $p\mid a-b:$
Chú ý rằng $v_p\left (\frac{a^{n}-b^{n}}{a-b} \right )=v_p(a^n-b^n)-v_p(a-b)=v_p(n)$
$\Longrightarrow \min \{ v_p(a-b),v_p\left (\frac{a^n-b^n}{a-b}\right )\}=\min \{ v_p(a-b),v_p(n)\}=v_p[\gcd\left (n,a-b \right )]$ (đpcm)

Nếu $p\nmid a-b:$
$\Longrightarrow \min \{ v_p(a-b),v_p\left (\frac{a^n-b^n}{a-b}\right )\}=\min \{v_p(a-b),v_p(n)\}=0$
$\iff v_p\left [\gcd\left ( a-b,\frac{a^{n}-b^{n}}{a-b} \right )\right ]=v_p[\gcd\left (n,a-b \right )]$ (đpcm)

Vậy $ \gcd\left ( a-b,\frac{a^{n}-b^{n}}{a-b} \right )=\gcd\left ( n,a-b \right )$

2) Tương tự như trên

[Zaraki]

Nếu $p\nmid a-b:$
$\Longrightarrow \min \{ v_p(a-b),v_p\left (\frac{a^n-b^n}{a-b}\right )\}=\min \{v_p(a-b),v_p(n)\}=0$

Đoạn này từ $p \nmid a-b$ sao suy ra được vậy nhỉ?

[Minhnguyenthe333]

Đoạn này từ $p \nmid a-b$ sao suy ra được vậy nhỉ?

Ta có $v_p[\gcd(a-b,n)]=\min \{v_p(a-b),v_p(n)\}=v_p(a-b)=0$
Tương tự cho $v_p[\gcd(a-b,\frac{a^n-b^n}{a-b})]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 07-08-2016 - 08:34