Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN của $P=\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}+\frac{1}{\sqrt{c+2}}$
Tìm GTLN của $P=\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}+\frac{1}{\sqrt{c+2}}$
#1
Đã gửi 14-07-2016 - 20:14
#2
Đã gửi 15-07-2016 - 01:29
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN của $P=\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}+\frac{1}{\sqrt{c+2}}$
Giải:
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi $a=b=0$; $c=1$ ta C/m đánh giá sau
$\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}\leqslant 1+\frac{1}{\sqrt{a+b+1}}$
$\Leftrightarrow ab\begin{bmatrix} (a+b+2)+\frac{2\sqrt{(a+1)(b+1)(a+b+1)}}{\sqrt{(a+1)(b+1)+\sqrt{a+b+1}}} \end{bmatrix}\geqslant 0$
(đúng với $a,b$ không âm)
$\Rightarrow P\leqslant 1+\frac{1}{\sqrt{a+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{c+2}}$
GT $\Leftrightarrow 1=(a+b)^2-2ab+c^2\leqslant (a+b)^2+c^2\Rightarrow a+b\geqslant \sqrt{1-c^2}$
$\Rightarrow P\leqslant f(c)=1+\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{1-c^2}}}+\frac{1}{\sqrt{c+2}}$
Ta có $f'(c)=\frac{c}{2\sqrt{1-c^2}(1+\sqrt{1-c^2})\sqrt{1+\sqrt{1-c^2}}}-\frac{1}{2(c+2)\sqrt{c+2}}$
$f'(c)=0\Leftrightarrow c(c+2)\sqrt{c+2}=\sqrt{1-c^2}(1+\sqrt{1-c^2})\sqrt{1+\sqrt{1-c^2}}$
$\Leftrightarrow c^5+3c^4+12c^3+15c^2-4-(c^4-5c^2+4)\sqrt{1-c^2}=0$
Đặt $g(c)=c^5+3c^4+12c^3+15c^2-4-(c^4-5c^2+4)\sqrt{1-c^2}$
$g'(c)=5c^4+12c^3+36c^2+30c-c(4c^2-10)\sqrt{1-c^2}+\frac{c(c^4-5c^2+4)}{\sqrt{1-c^2}}\geqslant 0$ với $c\in [0;1]$
$g(c)$ liên tục trên $[0;1]$ $\Rightarrow g(c)$ đồng biến trên $[0;1]$
Ta thấy
$g(c)$ liên tục trên $[0;1]$
$g(0,5).g(0,6)< 0$ $\Rightarrow $ PT $g(c)=0$ có $1$ nghiệm thuộc $(0,5;0,6)$ hay có $1$ nghiệm thuộc $(0;1)$
Mà $g(c)$ đồng biến trên $[0;1]$ nên nghiệm đó là nghiệm duy nhất
Từ đó lập BBT ta được
$f(c)\leqslant f(1)=\frac{6+\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow$ Max $P$= $\max_{[0;1]} f(t)$$=\frac{6+\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=0;c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 15-07-2016 - 14:18
- chanlerscofield yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh