Bài toán. Giải phương trình $\left ( x+2 \right )\sqrt{x^{2}-5}+\left ( 2x+1 \right )\sqrt{x^{2}+7}=2x^{2}+10x-10$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-07-2016 - 15:48
Bài toán. Giải phương trình $\left ( x+2 \right )\sqrt{x^{2}-5}+\left ( 2x+1 \right )\sqrt{x^{2}+7}=2x^{2}+10x-10$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-07-2016 - 15:48
Thích ngủ.
Bài toán. Giải phương trình $\left ( x+2 \right )\sqrt{x^{2}-5}+\left ( 2x+1 \right )\sqrt{x^{2}+7}=2x^{2}+10x-10$.
Điều kiện: $\begin{bmatrix} x\geq \sqrt{5}\\ x\leq -\sqrt{5} \end{bmatrix}$
Ta có: $(x+2)\sqrt{x^{2}-5}+(2x+1)\sqrt{x^{2}+7}=2x^{2}+10x-10\Leftrightarrow (x+2)\left ( \sqrt{x^{2}-5}-2 \right )+(2x+1)\left ( \sqrt{x^{2}+7}-4 \right )=2x^{2}-18\Leftrightarrow (x-3)\left ( \frac{(x+2)(x+3)}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{(2x+1)(x+3)}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2(x+3) \right )=0\Leftrightarrow (x-3)(x+3)\left ( \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2 \right )=0$
Điều kiện: $\begin{bmatrix} x\geq \sqrt{5}\\ x\leq -\sqrt{5} \end{bmatrix}$
Ta có: $(x+2)\sqrt{x^{2}-5}+(2x+1)\sqrt{x^{2}+7}=2x^{2}+10x-10\Leftrightarrow (x+2)\left ( \sqrt{x^{2}-5}-2 \right )+(2x+1)\left ( \sqrt{x^{2}+7}-4 \right )=2x^{2}-18\Leftrightarrow (x-3)\left ( \frac{(x+2)(x+3)}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{(2x+1)(x+3)}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2(x+3) \right )=0\Leftrightarrow (x-3)(x+3)\left ( \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2 \right )=0$
$\bullet$ Nếu $x\leq -\sqrt{5}\rightarrow \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2< 0$$\bullet$ Nếu $x\geq \sqrt{5}$$\ast$ Xét $g(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}$$\rightarrow g'(x)=\frac{8\sqrt{x^{2}+7}-x+14}{(\sqrt{x^{2}+7}+4)^{2}.\sqrt{x^{2}+7}}> 0,\forall x\geq \sqrt{5}\rightarrow g(x)\geq g(\sqrt{5})=\frac{2\sqrt{5}+1}{\sqrt{12}+4}$$\ast$ Xét $f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}\rightarrow f'(x)=\frac{2\sqrt{x^{2}-5}-2x+5}{\sqrt{x^{2}-5}\left ( \sqrt{x^{2}-5}+2 \right )^{2}}> 0,\forall x\geq \sqrt{5}$$\rightarrow f(x)\geq f(\sqrt{5})=\frac{\sqrt{5}+2}{2}\Rightarrow f(x)+g(x)-2> 0$Vậy $x=3\vee x=-3$
Hình như bạn tính đạo hàm $f(x)$ bị nhầm rồi.
Đúng phải là: $f'(x)=\frac{2\sqrt{x^2-5}-2x-5}{\sqrt{x^2-5}(\sqrt{x^2-5}+2)^2}$.
Do đó ta có: $2\sqrt{x^2-5}>2x+5\iff 4(x^2-5)>4x^2+20x+25\iff 0>20x+45$(Vô lí).
Vậy ta không thể kết luận được $f'(x)>0\forall x\ge \sqrt{5}$.
Bài toán. Giải phương trình $\left ( x+2 \right )\sqrt{x^{2}-5}+\left ( 2x+1 \right )\sqrt{x^{2}+7}=2x^{2}+10x-10(1)$.
Đk: $x\ge \sqrt{5};x\le -\sqrt{5}$.
Dùng liên hợp ta có:
$(1)\iff (x^2-9)[\frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}-2]=0$.
Xét biểu thức trong ngoặc vuông:
$\frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}-2=0$
$\iff \frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}=2(2)$.
Nếu $x\le -\sqrt{5}$. Từ $(2)\implies VT<VP\implies VN$.
Do đó ta chỉ cần xét với $x\ge \sqrt{5}$.
Đoạn này xử lí khá nhọc nhằn:
Xét $x\in [\sqrt{5};\frac{14}{5}]\implies \frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}\ge \frac{13}{10};\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}\ge \frac{7}{10}\implies VT>VP$.
Xét $x\in (\frac{14}{5};\frac{7}{2}]\implies \frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}\ge \frac{6}{5};\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}\ge \frac{4}{5}\implies VT>VP$.
Xét $x\in (\frac{7}{2};+\infty)\implies \frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}\ge 1;\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}\ge 1\implies VT>VP$.
Tóm lại ta luôn có: $VT(2)>VP(2)\implies \text{Phương trình (2) vô nghiệm}$.
Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là $x=3;x=-3$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 15-07-2016 - 19:39
Đoạn này xử lí khá nhọc nhằn:
Xét $x\in [\sqrt{5};\frac{14}{5}]\implies \frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}\ge \frac{13}{10};\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}\ge \frac{7}{10}\implies VT>VP$.
Xét $x\in (\frac{14}{5};\frac{7}{2}]\implies \frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}\ge \frac{6}{5};\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}\ge \frac{4}{5}\implies VT>VP$.
Xét $x\in (\frac{7}{2};+\infty)\implies \frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}\ge 1;\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}\ge 1\implies VT>VP$.
Tóm lại ta luôn có: $VT(2)>VP(2)\implies \text{Phương trình (2) vô nghiệm}$.
Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là $x=3;x=-3$.
Đoạn này sao nghĩ được những khoảng này vậy bạn?
Thích ngủ.
Cái đoạn đánh giá, mình có cách khác nè:
chia 2 TH
TH1:$X\leq -\sqrt{5}$
TH2 : X$\geqslant \sqrt{5}$
chứng minh $\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}$ khác 1 và cái còn lại cũng khác 1 là xong.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthilan742: 16-07-2016 - 15:33
Đào Thiên Long - Thpt Triệu Quang Phục
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh