Chủ đề này có 6 trả lời

[L Lawliet]

Bài toán. Giải phương trình $\left ( x+2 \right )\sqrt{x^{2}-5}+\left ( 2x+1 \right )\sqrt{x^{2}+7}=2x^{2}+10x-10$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-07-2016 - 15:48

[duaconcuachua98]

Bài toán. Giải phương trình $\left ( x+2 \right )\sqrt{x^{2}-5}+\left ( 2x+1 \right )\sqrt{x^{2}+7}=2x^{2}+10x-10$.

Điều kiện: $\begin{bmatrix} x\geq \sqrt{5}\\ x\leq -\sqrt{5} \end{bmatrix}$

Ta có: $(x+2)\sqrt{x^{2}-5}+(2x+1)\sqrt{x^{2}+7}=2x^{2}+10x-10\Leftrightarrow (x+2)\left ( \sqrt{x^{2}-5}-2 \right )+(2x+1)\left ( \sqrt{x^{2}+7}-4 \right )=2x^{2}-18\Leftrightarrow (x-3)\left ( \frac{(x+2)(x+3)}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{(2x+1)(x+3)}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2(x+3) \right )=0\Leftrightarrow (x-3)(x+3)\left ( \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2 \right )=0$

$\bullet$ Nếu $x\leq -\sqrt{5}\rightarrow \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2< 0$

$\bullet$ Nếu $x\geq \sqrt{5}$ 

$\ast$ Xét $g(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}$ 

$\rightarrow g'(x)=\frac{8\sqrt{x^{2}+7}-x+14}{(\sqrt{x^{2}+7}+4)^{2}.\sqrt{x^{2}+7}}> 0,\forall x\geq \sqrt{5}\rightarrow g(x)\geq g(\sqrt{5})=\frac{2\sqrt{5}+1}{\sqrt{12}+4}$

$\ast$ Xét $f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}\rightarrow f'(x)=\frac{2\sqrt{x^{2}-5}-2x+5}{\sqrt{x^{2}-5}\left ( \sqrt{x^{2}-5}+2 \right )^{2}}> 0,\forall x\geq \sqrt{5}$

$\rightarrow f(x)\geq f(\sqrt{5})=\frac{\sqrt{5}+2}{2}\Rightarrow f(x)+g(x)-2> 0$

Vậy $x=3\vee x=-3$

[tritanngo99]

 

Điều kiện: $\begin{bmatrix} x\geq \sqrt{5}\\ x\leq -\sqrt{5} \end{bmatrix}$

Ta có: $(x+2)\sqrt{x^{2}-5}+(2x+1)\sqrt{x^{2}+7}=2x^{2}+10x-10\Leftrightarrow (x+2)\left ( \sqrt{x^{2}-5}-2 \right )+(2x+1)\left ( \sqrt{x^{2}+7}-4 \right )=2x^{2}-18\Leftrightarrow (x-3)\left ( \frac{(x+2)(x+3)}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{(2x+1)(x+3)}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2(x+3) \right )=0\Leftrightarrow (x-3)(x+3)\left ( \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2 \right )=0$

$\bullet$ Nếu $x\leq -\sqrt{5}\rightarrow \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}-2< 0$

$\bullet$ Nếu $x\geq \sqrt{5}$ 

$\ast$ Xét $g(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+7}+4}$ 

$\rightarrow g'(x)=\frac{8\sqrt{x^{2}+7}-x+14}{(\sqrt{x^{2}+7}+4)^{2}.\sqrt{x^{2}+7}}> 0,\forall x\geq \sqrt{5}\rightarrow g(x)\geq g(\sqrt{5})=\frac{2\sqrt{5}+1}{\sqrt{12}+4}$

$\ast$ Xét $f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}\rightarrow f'(x)=\frac{2\sqrt{x^{2}-5}-2x+5}{\sqrt{x^{2}-5}\left ( \sqrt{x^{2}-5}+2 \right )^{2}}> 0,\forall x\geq \sqrt{5}$

$\rightarrow f(x)\geq f(\sqrt{5})=\frac{\sqrt{5}+2}{2}\Rightarrow f(x)+g(x)-2> 0$

Vậy $x=3\vee x=-3$

 

Hình như bạn tính đạo hàm $f(x)$ bị nhầm rồi.

Đúng phải là: $f'(x)=\frac{2\sqrt{x^2-5}-2x-5}{\sqrt{x^2-5}(\sqrt{x^2-5}+2)^2}$.

Do đó ta có: $2\sqrt{x^2-5}>2x+5\iff 4(x^2-5)>4x^2+20x+25\iff 0>20x+45$(Vô lí).

Vậy ta không thể kết luận được $f'(x)>0\forall x\ge \sqrt{5}$.

[tritanngo99]

Bài toán. Giải phương trình $\left ( x+2 \right )\sqrt{x^{2}-5}+\left ( 2x+1 \right )\sqrt{x^{2}+7}=2x^{2}+10x-10(1)$.

Đk: $x\ge \sqrt{5};x\le -\sqrt{5}$.

Dùng liên hợp ta có:

$(1)\iff (x^2-9)[\frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}-2]=0$.

Xét biểu thức trong ngoặc vuông:

$\frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}-2=0$

$\iff \frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}+\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}=2(2)$.

Nếu $x\le -\sqrt{5}$. Từ $(2)\implies VT<VP\implies VN$.

Do đó ta chỉ cần xét với $x\ge \sqrt{5}$.

Đoạn này xử lí khá nhọc nhằn:

Xét $x\in [\sqrt{5};\frac{14}{5}]\implies \frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}\ge \frac{13}{10};\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}\ge \frac{7}{10}\implies VT>VP$.

Xét $x\in (\frac{14}{5};\frac{7}{2}]\implies \frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}\ge \frac{6}{5};\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}\ge \frac{4}{5}\implies VT>VP$.

Xét $x\in (\frac{7}{2};+\infty)\implies \frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}\ge 1;\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}\ge 1\implies VT>VP$.

Tóm lại ta luôn có: $VT(2)>VP(2)\implies \text{Phương trình (2) vô nghiệm}$.

Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là $x=3;x=-3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 15-07-2016 - 19:39

[L Lawliet]

Đoạn này xử lí khá nhọc nhằn:

Xét $x\in [\sqrt{5};\frac{14}{5}]\implies \frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}\ge \frac{13}{10};\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}\ge \frac{7}{10}\implies VT>VP$.

Xét $x\in (\frac{14}{5};\frac{7}{2}]\implies \frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}\ge \frac{6}{5};\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}\ge \frac{4}{5}\implies VT>VP$.

Xét $x\in (\frac{7}{2};+\infty)\implies \frac{x+2}{\sqrt{x^2-5}+2}\ge 1;\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+7}+4}\ge 1\implies VT>VP$.

Tóm lại ta luôn có: $VT(2)>VP(2)\implies \text{Phương trình (2) vô nghiệm}$.

Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là $x=3;x=-3$.

Đoạn này sao nghĩ được những khoảng này vậy bạn?

[tritanngo99]

Dùng Casio cả buổi mới ra đó bạn, nhọc nhằn lắm

[vuthilan742]

Cái đoạn đánh giá, mình có cách khác nè:

chia 2 TH

TH1:$X\leq -\sqrt{5}$

TH2 : X$\geqslant \sqrt{5}$

chứng minh $\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}-5}+2}$ khác 1 và cái còn lại cũng khác 1 là xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthilan742: 16-07-2016 - 15:33