Cho x+y=1, x và y đều khác 0. Tìm GTLN của $A=\frac{1}{x^3+y^3+xy}$
#2
Đã gửi 16-07-2016 - 07:55
donbau
-
- Thành viên mới
-
- 8 Bài viết
Lính mới
Cho x+y=1, x và y đều khác 0. Tìm GTLN của $A=\frac{1}{x^3+y^3+xy}$
ta có $x^{3}+y^{3}+xy=(x+y)^{^{3}}-3xy(x+y)+xy=1-2xy$ do x+y=1
ta sử dụng bổ đề
$xy\leq (x+y)^{^{2}}/4$
ta chứng minh bổ đề $\frac{(x+y)^{2}}{4} \geq xy \Leftrightarrow (x+y)^{2}\geq 4xy\Leftrightarrow (x-y)^{2}\geq 0$ (đúng)
áp dụng bổ đề trên với x+y=1 suy ra $xy\leq \frac{1}{4}$
vậy suy ra $1-2xy \geq 1-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
vậy A= $\frac{1}{x^{3}+y^{3}+xy}=\frac{1}{1-2xy} \leq 2$ dấu bằng xảy ra khi x=y=0,5 vậy GTLN A = 2 khi x=y=0.5
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donbau: 16-07-2016 - 07:56
- lamgiaovien2, lehakhiem212 và quanghs1020 thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024  bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
