Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

CMR: $(a^{2004}-1) \vdots( b+1)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 xuantrandong

xuantrandong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Physics class QH Huế
  • Sở thích:Hình học,hẹn hò :)))

Đã gửi 16-07-2016 - 08:43

1) Cho $a,b\in \mathbb{Z}$, $a,b\neq -1$ thỏa mãn : $\frac{a^{2}-1}{b+1} + \frac{b^{2}-1}{a+1} \in \mathbb{Z}$

CMR: $(a^{2004}-1) \vdots( b+1)$

2) Xét 100 số tự nhiên $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{100}$  thỏa mãn : $\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}=20$

CMR trong 100 số đó có ít nhất 2 số bằng nhau


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuantrandong: 16-07-2016 - 08:45


#2 tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boldsymbol{\text{CVP}}$

Đã gửi 16-07-2016 - 09:28

1) Cho $a,b\in \mathbb{Z}$, $a,b\neq -1$ thỏa mãn : $\frac{a^{2}-1}{b+1} + \frac{b^{2}-1}{a+1} \in \mathbb{Z}$

CMR: $(a^{2004}-1) \vdots( b+1)$

2) Xét 100 số tự nhiên $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{100}$  thỏa mãn : $\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}=20$

CMR trong 100 số đó có ít nhất 2 số bằng nhau

1) 

Bổ đề: Với $p,q$ là các số hữu tỉ sao cho $p+q$ và $pq$ là các số nguyên thì $p,q$ là các số nguyên.

Chứng minh

Áp dụng bổ đề (Có $\frac{a^2-1}{b+1}.\frac{b^2-1}{a+1}=(a-1)(b-1)\in \mathbb{Z}$) ta được: $\frac{a^2-1}{b+1}\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow a^2-1\vdots b+1$ mà $a^{2004}-1\vdots a^2-1$.

Từ đó suy ra $\text{đpcm}$

 

2)

Giả sử trong $100$ số đó không có $2$ số nào bằng nhau. Thế thì: $$M=\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}\leq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{100}}=N$$

Ta sẽ chứng minh $N<20.$ Thật vậy:

$$N=1+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+\cdots +\frac{2}{2\sqrt{100}}< 1+\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots +\frac{2}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\cdots +\sqrt{100}-\sqrt{99})=1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19<20.$$

Vậy ta có $\text{đpcm}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 16-07-2016 - 09:32

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh