Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $x\vdots y$ mà $(x,y)=1$ nên $y=1$. Từ đó suy ra $p\in Z\Rightarrow q\in Z$
Áp dụng bổ đề (Có $\frac{a^2-1}{b+1}.\frac{b^2-1}{a+1}=(a-1)(b-1)\in \mathbb{Z}$) ta được: $\frac{a^2-1}{b+1}\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow a^2-1\vdots b+1$ mà $a^{2004}-1\vdots a^2-1$.
Từ đó suy ra $\text{đpcm}$
2)
Giả sử trong $100$ số đó không có $2$ số nào bằng nhau. Thế thì: $$M=\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}\leq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{100}}=N$$