Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $(a^{2004}-1) \vdots( b+1)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
xuantrandong

xuantrandong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

1) Cho $a,b\in \mathbb{Z}$, $a,b\neq -1$ thỏa mãn : $\frac{a^{2}-1}{b+1} + \frac{b^{2}-1}{a+1} \in \mathbb{Z}$

CMR: $(a^{2004}-1) \vdots( b+1)$

2) Xét 100 số tự nhiên $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{100}$  thỏa mãn : $\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}=20$

CMR trong 100 số đó có ít nhất 2 số bằng nhau


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuantrandong: 16-07-2016 - 08:45


#2
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

1) Cho $a,b\in \mathbb{Z}$, $a,b\neq -1$ thỏa mãn : $\frac{a^{2}-1}{b+1} + \frac{b^{2}-1}{a+1} \in \mathbb{Z}$

CMR: $(a^{2004}-1) \vdots( b+1)$

2) Xét 100 số tự nhiên $a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{100}$  thỏa mãn : $\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}=20$

CMR trong 100 số đó có ít nhất 2 số bằng nhau

1) 

Bổ đề: Với $p,q$ là các số hữu tỉ sao cho $p+q$ và $pq$ là các số nguyên thì $p,q$ là các số nguyên.

Chứng minh

Áp dụng bổ đề (Có $\frac{a^2-1}{b+1}.\frac{b^2-1}{a+1}=(a-1)(b-1)\in \mathbb{Z}$) ta được: $\frac{a^2-1}{b+1}\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow a^2-1\vdots b+1$ mà $a^{2004}-1\vdots a^2-1$.

Từ đó suy ra $\text{đpcm}$

 

2)

Giả sử trong $100$ số đó không có $2$ số nào bằng nhau. Thế thì: $$M=\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}\leq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{100}}=N$$

Ta sẽ chứng minh $N<20.$ Thật vậy:

$$N=1+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+\cdots +\frac{2}{2\sqrt{100}}< 1+\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots +\frac{2}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\cdots +\sqrt{100}-\sqrt{99})=1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19<20.$$

Vậy ta có $\text{đpcm}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 16-07-2016 - 09:32

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh