Chủ đề này có 1 trả lời

[la oi dung bay]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=6.Chứng minh rằng

$\frac{a}{ab+4}+\frac{b}{bc+4}+\frac{c}{ca+4}\geq \frac{3}{4}$

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=6.Chứng minh rằng

$\frac{a}{ab+4}+\frac{b}{bc+4}+\frac{c}{ca+4}\geq \frac{3}{4}$

Lời giải.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$\dfrac{4a}{ab+4}+\dfrac{4b}{bc+4}+\dfrac{4c}{ca+4} \geq 3$$

$$\Leftrightarrow a-\dfrac{a^{2}b}{ab+4}+b-\dfrac{b^{2}c}{bc+4}+c-\dfrac{c^{2}a}{ca+4} \geq 3$$

$$\Leftrightarrow 3 \geq \dfrac{a^{2}b}{ab+4}+\dfrac{b^{2}c}{bc+4}+\dfrac{c^{2}a}{ca+4}$$

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$$ab+4 \geq 4\sqrt{ab} \; \; \; \; \; bc+4 \geq 4\sqrt{bc} \; \; \; \; \; ca+4 \geq 4\sqrt{ca}$$

Suy ra, $$\dfrac{1}{4} \left( \sqrt{a^{3}b}+\sqrt{b^{3}c}+\sqrt{c^{3}a} \right) \geq \dfrac{a^{2}b}{ab+4}+\dfrac{b^{2}c}{bc+4}+\dfrac{c^{2}a}{ca+4}$$

 

Bổ đề. Với các số thực dương $x;y;z$, ta luôn có bất đẳng thức sau:
$$(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} \geq 3(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)$$

Chứng minh. Đã có tại đây

Áp dụng Bổ đề. với $x=\sqrt{a};y=\sqrt{b};z=\sqrt{c}$, ta có:
$$3=\dfrac{1}{12}(a+b+c)^{2} \geq \dfrac{1}{4} \left( \sqrt{a^{3}b}+\sqrt{b^{3}c}+\sqrt{c^{3}a} \right)$$

$$ \geq \dfrac{a^{2}b}{ab+4}+\dfrac{b^{2}c}{bc+4}+\dfrac{c^{2}a}{ca+4}$$

Bất đẳng thức được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$.$\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 16-07-2016 - 19:50