Cho $x,y,z >0,$ Tìm min:$\displaystyle P=(8x^2+y^2+z^2)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2$
Tìm min:$P=(8x^2+y^2+z^2)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2$
#1
Posted 17-07-2016 - 14:29
#2
Posted 17-07-2016 - 14:35
Cho $x,y,z >0,$ Tìm min:$\displaystyle P=(8x^2+y^2+z^2)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2$
Sử dụng bđt holder là xong
$P=(8x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq (\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1})^3=4^3=64$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2x=y=z$
- stuart clark and tpdtthltvp like this
"DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "
-Henry Ford -
#3
Posted 17-07-2016 - 19:52
Cho $x,y,z >0,$ Tìm min:$\displaystyle P=(8x^2+y^2+z^2)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2$
$\bf{A.M\geq G.M}$
$\displaystyle \frac{4x^2+4x^2+y^2+z^2}{4}\geq \sqrt[4]{4x^2\cdot 4x^2\cdot y^2\cdot z^2}\Rightarrow 8x^2+y^2+z^2\geq 4\sqrt[4]{16x^4\cdot y^2\cdot z^2}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\right)\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{2x}\cdot \frac{1}{2x}\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{z}}$
$\displaystyle \left(8x^2+y^2+z^2\right)\cdot \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\geq 64$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2x=y=z.$
Edited by stuart clark, 17-07-2016 - 19:53.
- nguyenduy287 likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users