Chủ đề này có 1 trả lời

[Rantaro]

Với mỗi số tự nhiên $n$, đặt $f(n)$ là tổng  các chữ số của $3n^2+n+1$

 

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(n)$

 

b. Tìm $n$ để $f(n)=2016$

[Chris yang]

Với mỗi số tự nhiên $n$, đặt $f(n)$ là tổng  các chữ số của $3n^2+n+1$

 

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(n)$

 

b. Tìm $n$ để $f(n)=2016$

Giải như sau:

a) 

Nếu $f(n)=1$ thì $3n^2+n+1=10^k$ với $k\geq 1$. Điều này hiển nhiên vô lý vì $3n^2+n+1$ luôn lẻ

Nếu $f(n)=2$ , ta xét 2 TH sau:

 +) TH1: $3n^2+n+1=2.10^k$: tương tự phía trên <vô lý>

 +) TH2:  $3n^2+n+1=10^a+10^b$ với $a>b\in\mathbb{N}$. Do $3n^2+n+1$ lẻ  nên $b=0$, hay $3n^2+n=n(3n+1)=10^a=2^a.5^a$. Phương trình tích với $(n,3n+1)=1$ ta dễ dàng thu được phương trình vô nghiệm

Nếu $f(n)=3$. Ta xét TH sau: $3n^2+n+1=2.10^k+1\Rightarrow n(3n+1)=2.10^k$. Dễ dàng giải PT trên ta thu được $n=8$ thỏa mãn, nghĩa là phương trình trên có nghiệm, hay tồn tại $n$ sao cho $f(n)=3$ là min

Vậy $f_{min}(n)=3$

b)  

Đoạn này cũng không biết cách làm nào khác ngoài mò

Dễ thấy $f(n)=2016=3n^2+n+1\pmod 9$ nên suy ra $n\equiv 5\pmod 9$

Khi đó thử đặt $n=10^t-5$. Ta có $3n^2+n+1=3.10^{2t}-29.10^t+71=2999...9710000...0071$ bao gồm một chữ số $2$, $t-2$ chữ số $9$, $2$ cặp $71$ và $t-2$ chữ số $0$

$\Rightarrow f(n)=2+9(t-2)+2(7+1)=2016$ kéo theo $t=224$

Vậy $n=10^{224}-5$ thì $f(n)=2016$