Đến nội dung

Hình ảnh

Trung bình cộng của các ước của số $p^{m}q^{n}$ là $1$ số nguyên.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

Cho $p,q$ là 2 số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng: tồn tại các số nguyên dương $m, n$ sao cho trung bình cộng của các ước của số $p^{m}q^{n}$ là $1$ số nguyên.


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#2
Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Cho $p,q$ là 2 số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng: tồn tại các số nguyên dương $m, n$ sao cho trung bình cộng của các ước của số $p^{m}q^{n}$ là $1$ số nguyên.

ĐKĐB tương đương với tồn tại $m,n$ để $A=\frac{(p^{m+1}-1)(q^{n+1}-1)}{(p-1)(q-1)(m+1)(n+1)}=\frac{(p^m+p^{m-1}+...+1)(q^n+q^{n-1}+...+1)}{(m+1)(n+1)}\in \mathbb{Z}$

+) Nếu $p=2$ và $q$ lẻ:  chọn $n=q$ thì $n+1|q^n+q^{n-1}+...+1$, ta chọn $m+1=\frac{q^{n}+q^{n-1}+...+1}{n+1}=1+q+q^2+...+q^{n-1}$. Khi đó $A\in\mathbb{Z}$. TH $q=2$ và $p$ lẻ tương tự như vậy.

+) Nếu cả $p,q$ đều lẻ, chọn $m=p,n=q$ hiển nhiên ta thu luôn được $A\in\mathbb{Z}$ :D

Do đó luôn tồn tại $m,n\in\mathbb{Z}^+$ thỏa mãn điều kiện trên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chris yang: 21-07-2016 - 00:54





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh