Chủ đề này có 2 trả lời

[Element hero Neos]

Bài 1:

 Tìm $n\in\mathbb{N^*}$ lẻ sao cho với $\left\{\begin{matrix} a,b|n \\ (a,b)=1 \end{matrix}\right.$ thì $a+b-1|n$

Bài 2:

 Tìm a,b,c nguyên dương thoả mãn $(a-1)(b-1)(c-1)|abc-1$

Bài 3:

 Tìm n nguyên dương thoả mãn $3^{n-1}+5^{n-1}|3^n+5^n$

[Minhnguyenthe333]

Bài 3:

 Tìm n nguyên dương thoả mãn $3^{n-1}+5^{n-1}|3^n+5^n$

$3^{n-1}+5^{n-1}\mid 3^n+5^n=3(3^{n-1}+5^{n-1})+2.5^{n-1}$
$<=>3^{n-1}+5^{n-1}\mid 2.5^{n-1}$
Khi đó tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho:
$k(3^{n-1}+5^{n-1})=2.5^{n-1}<=>(2-k)5^{n-1}=k.3^{n-1}$
Do $VP>0$ suy ra $2-k>0<=>k=1$
$<=>5^{n-1}=3^{n-1}=>n=1$
Vậy $n=1$

[Chris yang]

Bài 1:

 Tìm $n\in\mathbb{N^*}$ lẻ sao cho với $\left\{\begin{matrix} a,b|n \\ (a,b)=1 \end{matrix}\right.$ thì $a+b-1|n$

Bài 2:

 Tìm a,b,c nguyên dương thoả mãn $(a-1)(b-1)(c-1)|abc-1$

Bài 3:

 Tìm n nguyên dương thoả mãn $3^{n-1}+5^{n-1}|3^n+5^n$

 

Bài 1: Đặt $n=p^ta$ với $(p,a)=1$ và $p\in\mathbb{P}$, theo đkđb ta có ngay $p^t+a-1|p^ta\Rightarrow p^t+a-1|p^{2t}-p^t\rightarrow p^{2t}\geq 2p^t+a-1\Leftrightarrow p^{2t}\geq 2p^t+\frac{n}{p^t}-1>2\sqrt{2n}-1\Rightarrow p^{2t}\geq 2\sqrt{2n}$. Vì $p$ bất kỳ nên suy ra nếu $n$ có nhiều hơn hoặc bằng $4$ ước nguyên tố thì vô lý. Do đó ta xét các TH:

 

TH1: $n=p^t$ thì $a,b$ có một số là $1$. Giả sử đó là $b$ thì điều kiện trên luôn đúng

 

TH2: $n=p^t.q^m$ thì $p+q-1|p^t.q^m\Rightarrow p+q-1=p^{u}q^{v}$ với $u\leq t, v\leq m$ .Nếu $u,v\geq 1$ thì ta thu được $p=q=1$ (vô lý). Do đó một trong hai số $u,v$ bằng $0$. Giả sử $p>q$ Ta thấy $u=0$ vì nếu $v=0$ bắt buộc VT<VP. Do đó $p+q-1=q^v$. Lại có $m\geq v\geq 2$ nên $p+q^2-1=p^xq^y$. Bằng cách lập luận tương tự ở trên ta CM được rằng $x<2, x\neq 0\rightarrow x=1$  suy ra $q-1=q^{y-1}(p-q^{v-y})$, suy ra $y=1\Rightarrow p=q+1\Rightarrow p=3,q=2$, ta tìm được $n=12$

 

TH3: $n=p^tq^mr^s$. Giả sử $p>q>r$. Ta có $pq+r-1=p^{t'}q^{m'}r^{s'}$ ( $t'\leq t, m'\leq m, s'\leq s$ ) Lập luận tương tự TH2, thử lần lượt $a,b=0$,  ta thu được $pq+r-1=r^c$ $(1)$

Lại có $c\geq 2$ nên $pq+r^2-1=p^aq^br^c$ ( $a\leq t,b\leq m, c\leq s$), tương tự TH2 ta cũng có $pq+r^2-1=pqr^c$ $(2)$

Với $(1)$ và $(2)$ ta không tìm được bộ $(p,q,r)$ thỏa mãn, tức là không tồn tại $n$

 

Vậy $n=p^t$ hoặc $n=12$

 

Bài 2

Ta có $1\leq \frac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}<\frac{abc}{(a-1)(b-1)(c-1)}\leq 2.2.2=6$

Không mất tính tổng quát giả sử $a\leq b\leq c$. Trước tiên dễ thấy TH $abc-1=(a-1)(b-1)(c-1)$ vô lý. 

Với các TH $abc-1=k(a-1)(b-1)(c-1)$ trong đó $k=2,3,4,5$ : ta giả sử $a\leq b\leq c$. Nếu $a>5$ kéo theo $b,c>5$, khi đó $\frac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}\leq 1$ nên  $a=2,3,4$. Đến đây chỉ cần chịu khó xét các TH và thay giá trị của $a$ vào là có thể giải quyết dễ dàng.

 

Bài 3: 

ĐK tương đương $3^{n-1}+5^{n-1}|2.5^{n-1}\Rightarrow 3^{n-1}+5^{n-1}=2.5^t$ ( do $3^{n-1}+5^{n-1}$ chẵn) ( $t\leq n-1$)

Nếu $t\leq n-2$ thì hiển nhiên $\text{VT}>\text{VP}$ nên $t=n-1$, kéo theo $3^{n-1}=5^{n-1}$, suy ra $n=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chris yang: 20-07-2016 - 22:40