Chủ đề này có 1 trả lời

[redfox]

Gọi $N$ là số nghiệm nguyên của phương trình $x^2-y^2=z^3-t^3$, với điều kiện $0\leq x, y, z, t\leq 10^6$, và $M$ là số nghiệm nguyên của phương trình $x^2-y^2=z^3-t^3+1$, với điều kiện tương tự. Chứng minh $N> M$.

(IMO Shortlist 1979)

[the unknown]

Lời giải

Gọi $N$ là số nghiệm nguyên của phương trình $x^2-y^2=z^3-t^3$, với điều kiện $0\leq x, y, z, t\leq 10^6$, và $M$ là số nghiệm nguyên của phương trình $x^2-y^2=z^3-t^3+1$, với điều kiện tương tự. Chứng minh $N> M$.

(IMO Shortlist 1979)

Hai phương trình trên tương đương: $x^2+t^3=y^2+z^3$ và $x^2+t^3=y^2+z^3+1$.

Ta kí hiệu $f(n)$ tương ứng là số nghiệm của phương trình $a^2+b^3=n$ với $n$ là số tự nhiên.

Ta xét với một số tự nhiên $n$ $(0\leq n\leq 10^{12}+10^{18})$ thì ta có phương trình: $x^2+t^2=y^2+z^3=n$ thì khi đó phương trình $x^2+t^3=n$ có $f(n)$ nghiệm và phương trình $y^2+z^3=n$ cũng có $f(n)$ nghiệm. Vậy khi đó số nghiệm $(x,y,z,t)$ của phương trình $x^2+t^3=y^2+z^3=n$ là $f(n)^2$. Và như thế, đặt $k=10^{12}+10^{18}$ thì ta sẽ tính được: 

$N=\sum _{n=0}^k f(n)^2$

Tương tự: Ta xét với một số tự nhiên $n$ $(0\leq n\leq 10^{12}+10^{18})$ thì ta có phương trình: $x^2+t^2=y^2+z^3+1=n$. Khi đó phương trình $x^2+t^3=n$ có $f(n)$ nghiệm còn phương trình $y^2+z^3+1=n$ có $f(n-1)$ nghiệm nên

$M=\sum _{n=0}^k f(n).f(n-1)$

Ta có:

$N-M=\sum _{n=0}^k f(n)^2-\sum _{n=0}^k f( n).f(n-1)=\frac{1}{2} \sum _{n=0}^k(f(n)-f(n-1))^2> 0$

Bởi vì đẳng thức không thể xảy ra do $f(0)\neq f(1)$. (do $f(0)=1, f(1)=2$)

Nên $N>M$ và ta kết thúc chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 27-07-2016 - 18:41