TRƯỜNG HÈ TOÁN HỌC MIỀN BẮC 2016
Nguồn: Thầy Trần Mạnh Sang- THPT Chuyên Lê Hồng Phong
Bài 1:
Cho 2016 tập hợp, mỗi tập có 45 phần tử, hai tập bất kì có đúng một phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại 1 phần tử thuộc tất cả các tập.
Bài 2:
Cho tập $X$ hữu hạn phần tử. Các tập $A_{1},A_{2},...A_{50}$ là các tập con của $X$, mỗi tập có nhiều hơn một nửa số phần tử của $X$
Chứng minh:
a, Tồn tại phần tử $a$ thuộc ít nhất 26 tập con đã cho.
b, Tồn tại $A\subset X$ thỏa mãn $\left | A \right |\leq 5$ mà $A\cap A_{i}\neq \oslash (i=\overline{1,50})$
Bài 3: Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá 2016 thỏa mãn số đó chia hết cho 3 hoặc 4 nhưng không chia hết cho 5.
Bài 4: Cho S= \left \{ 1,2,...,2014 \right \}
Cần phải bỏ đi ít nhất bao nhiêu phần tử của $S$ để tập còn lại thỏa mãn không phần tử nào bằng tích hai phần tử khác.
Bài 5: Tìm tất cả các tập hữu hạn $A\subset \mathbb{N}$ và $B\subset \mathbb{N}$ thỏa mãn $A\subset \mathbb{B}$ và $\sum x_{b}=\sum x_{a}^{2}$
Bài 6: Cho tập $S$ thỏa mãn
+> Mỗi phần tử của $S$ là một dãy có 15 kí tự, chỉ sử dụng $a,b$
+> Hai phần tử trong $S$ được gọi là khác nhau nếu chúng khác nhau ở ít nhất ba phần tử
CMR: $\left |S \right |\leq 2^{11}$
Bài 7: Cho tập $S$ có 2008 phần tử và $S_{1},S_{2},...S_{50}$ là tập con của $S$ thỏa mãn
+> $\left | S_{1} \right |=100 (i=\overline{1,50})$
+> $S_{1}\cup S_{2}\cup ....\cup S_{i}=S$
CMR: tập $S_{i}, S_{j}$ $i$ khác $j$ thỏa $\left | S_{1}\cap S_{j} \right |\leq 3$
Bài 8: Cho $n,k\in N$ và $S=\left \{ 1,2,...,n \right \}$
$A_{1},A_{2},.....A_{k}$ là các tập con của $S$ thỏa:
+> $\left | A_{i} \right |\geq \frac{n}{2}\left ( i=\overline{1,k} \right )$
+> $\left | A_{i}\cap A_{j} \right |\leq \frac{n}{4}(i\neq j)$
CMR: $\left | A_{1}\cup A_{2}....\cup A_{k} \right |\geq \frac{k}{k+1}$
Bài 9: Cho số tự nhiên dương $n$ nhỏ hơn $2014$
Tập $A=\left \{ a_{1},a_{2},...,a_{n} \right \}$ là tập con của $S= \left \{ 1,2,3,...,2014 \right \}$ thỏa nếu $a_{i}\neq a_{j}\leq 2014(i\leq i\leq j\leq n)$ thì $a_{i}+a_{j}\in A$
Chứng minh: $\frac{a_{1}+a_{2}+.....+a^{n}}{n}\geq \frac{2015}{2}$
Bài 10: Cho $S$ có 2016 phần tử. Tìm số bộ sắp thứ tự $(S_{1},S_{2},....,S_{n})$ với $S_{i}$ là tập con của $S$ thỏa $S_{1}\cap S_{2}\cap S_{3}\cap ....S_{2015}\neq \oslash $
Bài 11: Cho $S$ là tập các số nguyên dương nhỏ hơn $15$ thỏa không có hai tập con rời nhau của $S$ có tổng các phần tử bằng nhau.
a, Chứng minh: số phần tử của $S$ không quá 5
b, Tìm tổng lớn nhất của số các phần tử của $S$
Bài 12: Cho $S\subset A= \left \{ 1,2,3,...n \right \}$n với $n$ nguyên dương. Tạo ra tập mới theo các luật sau:
+> Nếu $1\notin S$ thì thêm $1$ vào $S$
+> Nếu $n\in S$ thì bỏ $n$
+> Với $1\leq t< n,t\in S,t+1\notin S$ thì bỏ $t$ thêm $t+1$
Ta bắt đầu từ tập rỗng.
Chứng minh $n= 2^{m}=1$ với m nguyên dương.
Bài 13: Cho các số nguyên dương $m,n$ không nhỏ hơn 2 thảo $S$ là tập có $n$ phần tử. $A_{1},A_{2},...,A_{m}$ là các tập con của $S$ mà mỗi tập có ít nhất 2 phần tử và thỏa mãn nếu $A_{i}\cap A_{j}\neq \oslash$, $A_{i}\cap A_{k}\neq \oslash$, $A_{j}\cap A_{k}\neq \oslash$ thì $A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\neq \oslash$
Chứng minh: $m\leq 2^{n-1}-1$
Bài 14: Có tồn tại hay không một tập có 2010 số nguyên dương thỏa mãn nếu bỏ bất kỳ một phần tử nào của tập này thì tập còn lại có thể chia thành hai tập mà tổng các phần tử trong mỗi tập này bằng nhau?
P/s: Chuyên đề này được thầy hoàn thành trong 6 giờ làm việc, và đây là những bài đã giải quyết xong trên lớp, mình gõ lên để cho các bạn không có điều kiện tham gia trường hè giải thử. Các bài tập ở đây về độ khó khá đa dạng, từ khá dễ đến khó, được thầy sưu tầm lại, minh đã xin phép thầy để đăng lên đây.
Mong các bạn ở trường hè các miền khác có thể chia sẻ các bài tập của các bạn để có thể trao đổi!
Mong các bạn tham gia giải quyết hết các bài tập trên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ineX: 19-07-2016 - 18:28