Đến nội dung

Hình ảnh

Cho một bàn tròn có diện tích S, được phủ kín bởi một số khăn hình tròn (các khăn hình tròn che kín hết mặt bàn)

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ngoalong131209

ngoalong131209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Cho một bàn tròn có diện tích S, được phủ kín bởi một số khăn hình tròn (các khăn hình tròn che kín hết mặt bàn).Chứng minh rằng từ đó có thể chọn ra một số khăn trải bàn đôi một không giao nhau sao cho tổng diện tích các khăn này không nhỏ hơn $\frac{1}{9}$ diện tích mặt bàn



#2
redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết

Gọi mặt bàn là hình tròn $(O;R)$. Chọn hình tròn $(O_1;R_1)$ có bán kính $R_1$ lớn nhất. Trong các hình tròn còn lại, chọn hình tròn $(O_2;R_2)$ không giao với hình tròn $(O_1;R_1)$ và có bán kính $R_2$ lớn nhất. Quá trình tiếp tục như vậy cho đến khi chọn được các hình tròn $(O_1;R_1);(O_2;R_2);\cdots ;(O_n;R_n)$ đôi một không giao nhau và $n$ lớn nhất. Giả sử có $k$ sao cho $R_k<R_{k+1}$. Khi đó hình tròn $(O_{k+1};R_{k+1})$ giao với hình tròn $(O_{k-1};R_{k-1})$ và có bán kính lớn hơn hình tròn $(O_k;R_k)$ (vô lí với cách chọn hình tròn $(O_k;R_k)$).Vậy $R_1\geq R_2\geq \cdots \geq R_n$.

Giả sử tổng diện tích của $n$ hình tròn trên bé hơn $S/9$. Như vậy tống diện tích các hình tròn $(O_1;3R_1);(O_2;3R_2);\cdots ;(O_n;3R_n)$ bé hơn $S$ suy ra tồn tại điểm $A$ nằm ngoài n đường tròn trên suy ra $O_iA>3R_i, \forall i\in N, 1\leq i\leq n$. Vì khăn phủ kín mặt bàn nên tồn tại hình tròn $(O_{n+1};R_{n+1})$ chứa điểm $A$. Do cách chọn hình tròn $(O_1;R_1)$ nên $R_{n+1}\leqslant R_1$. Giả sử có $k$ sao cho $R_k\geq R_{n+1}> R_{k+1}$. Khi đó $O_{n+1}O_{i}\geq O_iA-O_{n+1}A>3R_i-R_{n+1}\geq R_i+2R_i-R_{n+1}\geq R_i+R_{n+1},\forall i\in N,1\leq i\leq k$. Vậy hình tròn $(O_{n+1};R_{n+1})$ không giao với $k$ hình tròn $(O_1;R_1);(O_2;R_2);\cdots ;(O_k;R_k)$ và có bán kính lớn hơn hình tròn $(O_{k+1};R_{k+1})$(vô lí với cách chọn hình tròn $(O_{k+1};R_{k+1})$). Vậy $R_{n+1}\leq R_n$. Chứng minh tương tự ta có hình tròn $(O_{n+1};R_{n+1})$ không giao với các hình tròn $(O_1;R_1);(O_2;R_2);\cdots (O_n;R_n)$ hay $n+1$ hình tròn trên đôi một không giao nhau (trái với cách chọn $n$).

Vậy cách chọn $n$ hình tròn trên thỏa mãn đề bài.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 22-07-2016 - 16:53





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh