Cho $a,b,c$ là các số thực phân biệt thỏa mãn $a+b+c=1$ và $ab+bc+ca>0$. Tìm GTNN của $P=\frac{2}{\left | a-b \right |}+\frac{2}{\left | b-c \right |}+\frac{2}{\left | c-a \right |}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$
Cho $a,b,c$ là các số thực phân biệt thỏa mãn $a+b+c=1$ và $ab+bc+ca>0$. Tìm GTNN của $P=\frac{2}{\left | a-b \right |}+\frac{2}{\left | b-c \right |}+\frac{2}{\left | c-a \right |}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$
Không mất tổng quát giả sử: $a> b> c$. ta có:
$P=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$.
Sử dụng BĐT quen thuộc: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y},\forall x,y> 0$ ta có:
$P\geq 2.\frac{4}{a-b+b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}=5(\frac{2}{a-c}+\frac{1}{\sqrt{ab+bc+ca}})$
$\geq \frac{5.2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{(a-c)^2(ab+bc+ca)}}=\frac{20}{\sqrt[4]{(a-c)^2(4ab+4bc+4ca)}}$
$\geq \frac{20}{\sqrt{\frac{(a-c)^2+4(ab+bc+ca)}{2}}}=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(a+c)(a+c+4b)}}$
$=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(1-b)(1+3b)}}= \frac{20\sqrt{6}}{(3-3b)(1+3b)}\geq \frac{40\sqrt{6}}{3-3b+1+3b}=10\sqrt{6}$
Đẳng thức xảy ra khi: $a=\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{6}},b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{6}}$ hoặc các hoán vị.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Không mất tổng quát giả sử: $a> b> c$. ta có:
$P=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$.
Sử dụng BĐT quen thuộc: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y},\forall x,y> 0$ ta có:
$P\geq 2.\frac{4}{a-b+b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}=5(\frac{2}{a-c}+\frac{1}{\sqrt{ab+bc+ca}})$
$\geq \frac{5.2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{(a-c)^2(ab+bc+ca)}}=\frac{20}{\sqrt[4]{(a-c)^2(4ab+4bc+4ca)}}$
$\geq \frac{20}{\sqrt{\frac{(a-c)^2+4(ab+bc+ca)}{2}}}=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(a+c)(a+c+4b)}}$
$=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(1-b)(1+3b)}}= \frac{20\sqrt{6}}{(3-3b)(1+3b)}\geq \frac{40\sqrt{6}}{3-3b+1+3b}=10\sqrt{6}$
Đẳng thức xảy ra khi: $a=\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{6}},b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{6}}$ hoặc các hoán vị.
Cho mình hỏi cái đoạn này sao bạn biết nhân tử và mẫu cho $\sqrt{2}$ để phía dưới mẫu có thể áp dụng BĐT vậy
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanlerscofield: 23-07-2016 - 12:08
Không mất tổng quát giả sử: $a> b> c$. ta có:
$P=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$.
Sử dụng BĐT quen thuộc: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y},\forall x,y> 0$ ta có:
$P\geq 2.\frac{4}{a-b+b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}=5(\frac{2}{a-c}+\frac{1}{\sqrt{ab+bc+ca}})$
$\geq \frac{5.2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{(a-c)^2(ab+bc+ca)}}=\frac{20}{\sqrt[4]{(a-c)^2(4ab+4bc+4ca)}}$
$\geq \frac{20}{\sqrt{\frac{(a-c)^2+4(ab+bc+ca)}{2}}}=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(a+c)(a+c+4b)}}$
$=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(1-b)(1+3b)}}= \frac{20\sqrt{6}}{(3-3b)(1+3b)}\geq \frac{40\sqrt{6}}{3-3b+1+3b}=10\sqrt{6}$
Đẳng thức xảy ra khi: $a=\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{6}},b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{6}}$ hoặc các hoán vị.
Mình xin bổ sung cái: bạn viết thiếu dấu căn. Nhưng bài toán vẫn đúng không có gì thay đổi
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh