Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 21-07-2016 - 09:51
Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 21-07-2016 - 09:51
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}.$$
Áp dụng BDT Bunhiacopxki ta có: $b+c^2\le \sqrt{(b^2+c^2)(1+c^2)}\le \frac{b^2+2c^2+1}{2}\le \frac{b^2+2c^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}{2}$
$=\frac{4b^2+7c^2+a^2}{6}(\text{ do } a^2+b^2+c^2\ge 3)$.
Khi đó: $\sum \frac{a}{b+c^2}\ge \sum \frac{6a}{4b^2+7c^2+a^2}$.
Áp dụng bài toán này: http://diendantoanho...7b2c2ge-frac12/.
Nên ta có dpcm.
Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}.$$
mạnh hơn
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\frac{a^{2}}{{b + {c^2}}} + \frac{b^{2}}{{c + {a^2}}} + \frac{c^{2}}{{a + {b^2}}} \ge \frac{9}{a+b+c+3}.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 09-10-2016 - 22:28
Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}.$$
Xem tại đây:http://www.artofprob...6h145137p821640
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh